Номер 307, страница 401 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 307, страница 401.

307 Найдите $\sin \alpha$, если $\cos \alpha = 0,6$ и $\pi < \alpha < 2\pi$.

Для нахождения значения $\sin \alpha$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, которое связывает синус и косинус одного и того же угла:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Из условия задачи нам известно, что $\cos \alpha = 0,6$. Подставим это значение в тождество:

$\sin^2 \alpha + (0,6)^2 = 1$

$\sin^2 \alpha + 0,36 = 1$

Теперь выразим $\sin^2 \alpha$:

$\sin^2 \alpha = 1 - 0,36$

$\sin^2 \alpha = 0,64$

Из этого уравнения следует, что $\sin \alpha$ может быть равен $\sqrt{0,64}$ или $-\sqrt{0,64}$:

$\sin \alpha = 0,8$ или $\sin \alpha = -0,8$.

Чтобы определить правильный знак для $\sin \alpha$, необходимо проанализировать второе условие задачи: $\pi < \alpha < 2\pi$. Это неравенство означает, что угол $\alpha$ находится в третьей или четвертой координатной четверти.

Вспомним знаки тригонометрических функций по четвертям:

• В третьей четверти ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$) и синус, и косинус отрицательны.
• В четвертой четверти ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$) косинус положителен, а синус отрицателен.

Поскольку нам дано, что $\cos \alpha = 0,6$ (положительное число), угол $\alpha$ должен находиться в четвертой четверти. В этой четверти синус имеет отрицательное значение.

Следовательно, из двух возможных решений ($\sin \alpha = 0,8$ и $\sin \alpha = -0,8$) мы выбираем отрицательное.

Ответ: -0,8