Страница 401 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

301 Когда товарный поезд проходил мимо станции А, пассажирский поезд только начал равноускоренное движение (начальная скорость равна нулю). Поезда поравнялись в тот момент, когда они прошли треть пути от станции А до следующей станции В. В этот момент пассажирский поезд, набравший некоторую скорость, начал движение с постоянной скоростью. Во сколько раз больше времени затратил на путь от А до В товарный поезд, чем пассажирский, если скорость товарного поезда на всём пути была постоянной?

Для решения задачи разобьем весь путь от станции А до станции В на два участка и проанализируем движение каждого поезда на каждом из них. Введем следующие обозначения:

• $S$ — общее расстояние от станции А до станции В.
• $v_т$ — постоянная скорость товарного поезда.
• $a_п$ — ускорение пассажирского поезда на первом участке.
• $t_т$ — общее время движения товарного поезда.
• $t_п$ — общее время движения пассажирского поезда.

Задача заключается в поиске отношения $\frac{t_т}{t_п}$.

1. Движение на первом участке.

Первый участок пути — от станции А до момента, когда поезда поравнялись. Согласно условию, на этот момент они прошли треть пути, то есть расстояние $S_1 = \frac{S}{3}$. Пусть время, за которое они прошли этот участок, равно $t_1$.

Движение товарного поезда равномерное. Пройденный им путь:$S_1 = v_т \cdot t_1$$\frac{S}{3} = v_т \cdot t_1$

Движение пассажирского поезда равноускоренное, с начальной скоростью $v_0 = 0$. Пройденный им путь:$S_1 = \frac{a_п t_1^2}{2}$$\frac{S}{3} = \frac{a_п t_1^2}{2}$

Поскольку оба поезда прошли одинаковое расстояние $S_1$ за одно и то же время $t_1$, их средние скорости на этом участке равны.Средняя скорость товарного поезда: $\bar{v}_т = v_т$.Средняя скорость пассажирского поезда (при равноускоренном движении из состояния покоя): $\bar{v}_п = \frac{v_{п1} + v_0}{2} = \frac{v_{п1}}{2}$, где $v_{п1}$ — его скорость в конце первого участка.Приравнивая пути, выраженные через средние скорости:$\bar{v}_т \cdot t_1 = \bar{v}_п \cdot t_1$$v_т = \frac{v_{п1}}{2}$Отсюда находим скорость пассажирского поезда в момент, когда они поравнялись:$v_{п1} = 2v_т$.

2. Движение на втором участке.

Второй участок пути имеет длину $S_2 = S - S_1 = S - \frac{S}{3} = \frac{2S}{3}$.На этом участке товарный поезд продолжает движение с постоянной скоростью $v_т$.Пассажирский поезд, по условию, движется с постоянной скоростью, которую он набрал к концу первого участка, то есть с $v_{п1} = 2v_т$.

3. Расчет общего времени движения.

Найдем общее время движения для каждого поезда.

Время движения товарного поезда $t_т$:Он проходит весь путь $S$ с постоянной скоростью $v_т$.$t_т = \frac{S}{v_т}$

Время движения пассажирского поезда $t_п$ складывается из времени на первом участке ($t_1$) и на втором ($\Delta t_{п2}$).

Время на первом участке $t_1$ найдем из уравнения движения товарного поезда:$t_1 = \frac{S_1}{v_т} = \frac{S/3}{v_т} = \frac{S}{3v_т}$

Время на втором участке $\Delta t_{п2}$ для пассажирского поезда:$\Delta t_{п2} = \frac{S_2}{v_{п1}} = \frac{2S/3}{2v_т} = \frac{S}{3v_т}$

Общее время для пассажирского поезда:$t_п = t_1 + \Delta t_{п2} = \frac{S}{3v_т} + \frac{S}{3v_т} = \frac{2S}{3v_т}$

4. Нахождение отношения времен.

Теперь мы можем найти, во сколько раз больше времени затратил товарный поезд, чем пассажирский.$\frac{t_т}{t_п} = \frac{\frac{S}{v_т}}{\frac{2S}{3v_т}} = \frac{S}{v_т} \cdot \frac{3v_т}{2S} = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: Товарный поезд затратил на путь от А до В в 1,5 раза больше времени, чем пассажирский.

302 Из пункта $A$ в пункт $B$ отправились одновременно два поезда. Каждый из них вначале двигался равноускоренно (ускорения поездов различны, начальные скорости равны нулю), а затем, набрав некоторую скорость, — равномерно. Отношение скоростей равномерного движения поездов равно 2. Пройдя четверть пути от $A$ до $B$, поезда поравнялись, причём в этот момент скорость одного была в 1,5 раза больше скорости другого. Найдите отношение промежутков времени, за которые поезда прошли путь от $A$ до $B$.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ — полное расстояние от пункта А до пункта В.
• Для первого поезда: ускорение $a_1$, установившаяся скорость $v_{u1}$, общее время в пути $T_1$.
• Для второго поезда: ускорение $a_2$, установившаяся скорость $v_{u2}$, общее время в пути $T_2$.

Согласно условию, начальные скорости обоих поездов равны нулю. Движение каждого поезда состоит из двух этапов: равноускоренное движение и равномерное движение.

1. Анализ условия задачи

Из условия задачи нам известны следующие соотношения:

1. Отношение установившихся скоростей равномерного движения равно 2. Пусть скорость второго поезда $v_{u2} = v$, тогда скорость первого поезда $v_{u1} = 2v$.

2. Поезда поравнялись, пройдя расстояние $s_m = S/4$. Поскольку они стартовали одновременно, время, за которое они прошли это расстояние, одинаково для обоих поездов. Обозначим это время $t_m$.

3. В момент встречи $t_m$ скорость одного поезда была в 1,5 раза больше скорости другого. Обозначим их мгновенные скорости в этот момент как $v_1(t_m)$ и $v_2(t_m)$. То есть, либо $v_1(t_m) = 1.5 v_2(t_m)$, либо $v_2(t_m) = 1.5 v_1(t_m)$.

2. Определение режима движения поездов в момент встречи

Поскольку поезда прошли одинаковое расстояние $S/4$ за одинаковое время $t_m$, их средние скорости на этом отрезке пути равны: $\bar{v}_1 = \bar{v}_2 = \frac{S/4}{t_m}$.

Рассмотрим возможные режимы движения в момент $t_m$:

• Если бы оба поезда все еще разгонялись, то их средние скорости были бы $\bar{v}_1 = \frac{v_1(t_m)}{2}$ и $\bar{v}_2 = \frac{v_2(t_m)}{2}$. Из равенства средних скоростей следовало бы, что $v_1(t_m) = v_2(t_m)$, что противоречит условию об отношении скоростей 1,5.
• Если бы оба поезда уже двигались равномерно, то их скорости были бы $v_1(t_m) = v_{u1} = 2v$ и $v_2(t_m) = v_{u2} = v$. Отношение скоростей было бы равно 2, что также противоречит условию (1,5).

Следовательно, в момент встречи один поезд все еще разгонялся, а другой уже перешел к равномерному движению. Определим, какой именно.

Предположим, что первый поезд (с большей конечной скоростью $v_{u1}=2v$) уже движется равномерно, а второй (с меньшей конечной скоростью $v_{u2}=v$) еще разгоняется. Тогда в момент $t_m$:$v_1(t_m) = v_{u1} = 2v$.$v_2(t_m) < v_{u2} = v$.Из этих двух неравенств следует, что $v_1(t_m) > 2v_2(t_m)$, то есть отношение их скоростей больше 2. Это противоречит условию, что отношение равно 1,5.

Значит, верна обратная ситуация: второй поезд (с меньшей конечной скоростью) уже достиг своей установившейся скорости $v_{u2}=v$, а первый поезд (с большей конечной скоростью) все еще находится на этапе разгона.

Таким образом, в момент встречи $t_m$ имеем:

• Второй поезд движется равномерно: $v_2(t_m) = v_{u2} = v$.
• Первый поезд движется равноускоренно: $v_1(t_m) < v_{u1} = 2v$.

Теперь определим, какое из отношений скоростей ($1,5$ или $1/1,5$) верно.Средняя скорость первого поезда (разгоняющегося) $\bar{v}_1 = \frac{v_1(t_m)}{2}$.Средняя скорость второго поезда (часть пути - разгон, часть - равномерное движение) будет больше, чем его средняя скорость на участке разгона ($\frac{v_{u2}}{2} = \frac{v}{2}$). То есть $\bar{v}_2 > \frac{v}{2}$.Так как $\bar{v}_1 = \bar{v}_2$, получаем $\frac{v_1(t_m)}{2} > \frac{v}{2}$, откуда $v_1(t_m) > v$.Поскольку $v_2(t_m) = v$, то $v_1(t_m) > v_2(t_m)$.Следовательно, в момент встречи выполняется соотношение $v_1(t_m) = 1.5 v_2(t_m)$.Подставляя известные значения, получаем: $v_1(t_m) = 1.5 v$. Это не противоречит условию $v_1(t_m) < v_{u1}$, так как $1.5v < 2v$.

3. Расчет параметров движения

Найдем время встречи $t_m$. Для первого поезда, который все время разгонялся, путь равен $S/4 = \bar{v}_1 t_m = \frac{v_1(t_m)}{2}t_m$.Подставим $v_1(t_m) = 1.5v$:$\frac{S}{4} = \frac{1.5v}{2}t_m \implies t_m = \frac{S/4}{0.75v} = \frac{S}{3v}$.

Теперь найдем полные времена движения $T_1$ и $T_2$.

Расчет для первого поезда:Ускорение первого поезда: $a_1 = \frac{v_1(t_m)}{t_m} = \frac{1.5v}{S/(3v)} = \frac{4.5v^2}{S}$.Время разгона до скорости $v_{u1} = 2v$: $t_{a1} = \frac{v_{u1}}{a_1} = \frac{2v}{4.5v^2/S} = \frac{2S}{4.5v} = \frac{4S}{9v}$.Расстояние разгона: $s_{a1} = \frac{a_1 t_{a1}^2}{2} = \frac{v_{u1}^2}{2a_1} = \frac{(2v)^2}{2 \cdot (4.5v^2/S)} = \frac{4v^2 S}{9v^2} = \frac{4S}{9}$.Оставшееся расстояние $S - s_{a1} = S - \frac{4S}{9} = \frac{5S}{9}$ поезд проходит с постоянной скоростью $v_{u1} = 2v$.Время равномерного движения: $t_{u1} = \frac{5S/9}{2v} = \frac{5S}{18v}$.Полное время в пути для первого поезда: $T_1 = t_{a1} + t_{u1} = \frac{4S}{9v} + \frac{5S}{18v} = \frac{8S + 5S}{18v} = \frac{13S}{18v}$.

Расчет для второго поезда:Время разгона $t_{a2}$ второго поезда найдем из его средней скорости $\bar{v}_2 = \frac{S/4}{t_m} = \frac{3v}{4}$.Средняя скорость на смешанном участке: $\bar{v}_2 = \frac{s_{a2} + v_{u2}(t_m - t_{a2})}{t_m}$.Так как $s_{a2} = \frac{v_{u2} t_{a2}}{2} = \frac{v t_{a2}}{2}$, получаем $\bar{v}_2 = \frac{v t_{a2}/2 + v(t_m - t_{a2})}{t_m} = v(1 - \frac{t_{a2}}{2t_m})$.Приравниваем: $\frac{3v}{4} = v(1 - \frac{t_{a2}}{2t_m}) \implies \frac{3}{4} = 1 - \frac{t_{a2}}{2t_m} \implies \frac{t_{a2}}{2t_m} = \frac{1}{4} \implies t_{a2} = \frac{t_m}{2}$.$t_{a2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{S}{3v} = \frac{S}{6v}$.Расстояние разгона: $s_{a2} = \frac{v t_{a2}}{2} = \frac{v}{2} \cdot \frac{S}{6v} = \frac{S}{12}$.Оставшееся расстояние $S - s_{a2} = S - \frac{S}{12} = \frac{11S}{12}$ поезд проходит с постоянной скоростью $v_{u2} = v$.Время равномерного движения: $t_{u2} = \frac{11S/12}{v} = \frac{11S}{12v}$.Полное время в пути для второго поезда: $T_2 = t_{a2} + t_{u2} = \frac{S}{6v} + \frac{11S}{12v} = \frac{2S + 11S}{12v} = \frac{13S}{12v}$.

4. Нахождение отношения времен

Теперь мы можем найти искомое отношение времен $T_1$ и $T_2$:$\frac{T_1}{T_2} = \frac{13S/(18v)}{13S/(12v)} = \frac{13S}{18v} \cdot \frac{12v}{13S} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$.

Отношение времен, за которые поезда прошли путь от А до В, равно 2/3 (или 3/2, в зависимости от того, время какого поезда брать за числитель).

Ответ: Отношение времени движения первого поезда ко времени движения второго равно $2/3$. Отношение времени движения второго поезда ко времени движения первого равно $3/2$ или $1,5$.

303¹ Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?

Примем весь объем работы за 1.
Пусть $v_1$ — производительность первого рабочего (часть работы, которую он выполняет за один день), а $v_2$ — производительность второго рабочего.
Пусть $t_1$ — это количество дней, за которое первый рабочий выполнит всю работу самостоятельно. Тогда $v_1 = \frac{1}{t_1}$. Мы ищем $t_1$.

Из условия известно, что, работая вместе, двое рабочих выполняют всю работу за 12 дней. Их общая производительность составляет $v_1 + v_2$. Таким образом, мы можем составить первое уравнение:
$v_1 + v_2 = \frac{1}{12}$

Также в условии сказано, что первый рабочий за 2 дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за 3 дня. Это позволяет нам составить второе уравнение, связывающее их производительности:
$2 \cdot v_1 = 3 \cdot v_2$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} v_1 + v_2 = \frac{1}{12} \\ 2v_1 = 3v_2 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим производительность второго рабочего $v_2$ через производительность первого $v_1$:
$v_2 = \frac{2}{3}v_1$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:
$v_1 + \frac{2}{3}v_1 = \frac{1}{12}$

Решим полученное уравнение относительно $v_1$:
$\frac{3v_1 + 2v_1}{3} = \frac{1}{12}$
$\frac{5}{3}v_1 = \frac{1}{12}$
$v_1 = \frac{1}{12} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$

Итак, производительность первого рабочего равна $\frac{1}{20}$ часть работы в день. Следовательно, на выполнение всей работы ему потребуется время $t_1$, которое можно найти как величину, обратную производительности:
$t_1 = \frac{1}{v_1} = \frac{1}{1/20} = 20$ дней.

Ответ: 20 дней.

304 Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой $h(t)=-5t^2 + 18t$ ($h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска). Найдите, сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров.

В условии задачи дана формула, описывающая высоту камня в зависимости от времени: $h(t) = -5t^2 + 18t$, где $h$ — высота в метрах, а $t$ — время в секундах.

Нам нужно найти, сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров. Математически это условие можно записать в виде неравенства:

$h(t) \ge 9$

Подставим в неравенство формулу для $h(t)$:

$-5t^2 + 18t \ge 9$

Для решения этого квадратного неравенства перенесем все его члены в одну сторону:

$-5t^2 + 18t - 9 \ge 0$

Чтобы сделать старший коэффициент положительным, умножим обе части неравенства на -1. При этом знак неравенства изменится на противоположный:

$5t^2 - 18t + 9 \le 0$

Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5t^2 - 18t + 9 = 0$. Это моменты времени, когда камень находился ровно на высоте 9 метров. Решим уравнение с помощью дискриминанта:

$a=5, b=-18, c=9$

$D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 9 = 324 - 180 = 144$

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня. Найдем их:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 - \sqrt{144}}{2 \cdot 5} = \frac{18 - 12}{10} = \frac{6}{10} = 0,6$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 + \sqrt{144}}{2 \cdot 5} = \frac{18 + 12}{10} = \frac{30}{10} = 3$

Мы получили два момента времени: $t_1 = 0,6$ с (когда камень достиг высоты 9 метров, двигаясь вверх) и $t_2 = 3$ с (когда камень снова оказался на высоте 9 метров, двигаясь вниз).

Вернемся к неравенству $5t^2 - 18t + 9 \le 0$. Графиком функции $y(t) = 5t^2 - 18t + 9$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как $a=5 > 0$). Значения функции неположительны (меньше или равны нулю) на отрезке между ее корнями.

Следовательно, неравенство выполняется для $t \in [0,6; 3]$.

Чтобы найти, как долго камень находился на высоте не менее 9 метров, нужно вычислить продолжительность этого временного интервала:

$\Delta t = t_2 - t_1 = 3 - 0,6 = 2,4$ секунды.

Ответ: 2,4.

305 ЕГЭ Найдите значение выражения $\log_2 200 + \log_2 \frac{1}{25}$.

Для нахождения значения данного выражения воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием. Свойство гласит, что сумма логарифмов равна логарифму произведения: $\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(b \cdot c)$.

Применим это правило к заданному выражению:

$\log_2 200 + \log_2 \frac{1}{25} = \log_2 (200 \cdot \frac{1}{25})$

Теперь упростим выражение в скобках:

$200 \cdot \frac{1}{25} = \frac{200}{25} = 8$

Таким образом, исходное выражение сводится к вычислению $\log_2 8$.

Логарифм $\log_2 8$ — это степень, в которую нужно возвести основание 2, чтобы получить 8. Мы знаем, что $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

Следовательно, $\log_2 8 = 3$.

Ответ: 3

306 ЕГЭ Найдите корень уравнения $log_3(x - 3) = 2$.

Данное уравнение является логарифмическим. Для его решения необходимо воспользоваться определением логарифма.

Исходное уравнение: $\log_3(x - 3) = 2$.

В первую очередь, найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Аргумент логарифма всегда должен быть строго положительным. Следовательно, мы имеем неравенство:

$x - 3 > 0$

Решая это неравенство, получаем:

$x > 3$

Теперь перейдем к решению самого уравнения. Согласно определению логарифма, если $\log_a(b) = c$, то это эквивалентно $a^c = b$. Применительно к нашему уравнению, где основание $a=3$, аргумент $b=x-3$ и значение логарифма $c=2$, получаем:

$x - 3 = 3^2$

Вычислим степень:

$3^2 = 9$

Подставим это значение обратно в уравнение:

$x - 3 = 9$

Теперь решим полученное линейное уравнение, перенеся $-3$ в правую часть с противоположным знаком:

$x = 9 + 3$

$x = 12$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=12$ области допустимых значений $x > 3$. Так как $12 > 3$, корень подходит.

Ответ: 12

307 Найдите $ \sin \alpha $, если $ \cos \alpha = 0,6 $ и $ \pi < \alpha < 2\pi $.

Для нахождения значения $\sin \alpha$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, которое связывает синус и косинус одного и того же угла:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Из условия задачи нам известно, что $\cos \alpha = 0,6$. Подставим это значение в тождество:

$\sin^2 \alpha + (0,6)^2 = 1$

$\sin^2 \alpha + 0,36 = 1$

Теперь выразим $\sin^2 \alpha$:

$\sin^2 \alpha = 1 - 0,36$

$\sin^2 \alpha = 0,64$

Из этого уравнения следует, что $\sin \alpha$ может быть равен $\sqrt{0,64}$ или $-\sqrt{0,64}$:

$\sin \alpha = 0,8$ или $\sin \alpha = -0,8$.

Чтобы определить правильный знак для $\sin \alpha$, необходимо проанализировать второе условие задачи: $\pi < \alpha < 2\pi$. Это неравенство означает, что угол $\alpha$ находится в третьей или четвертой координатной четверти.

Вспомним знаки тригонометрических функций по четвертям:

• В третьей четверти ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$) и синус, и косинус отрицательны.
• В четвертой четверти ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$) косинус положителен, а синус отрицателен.

Поскольку нам дано, что $\cos \alpha = 0,6$ (положительное число), угол $\alpha$ должен находиться в четвертой четверти. В этой четверти синус имеет отрицательное значение.

Следовательно, из двух возможных решений ($\sin \alpha = 0,8$ и $\sin \alpha = -0,8$) мы выбираем отрицательное.

Ответ: -0,8

308 ЕГЭ. Решите уравнение $6 \sin^2 x + \cos x - 5 = 0$ и найдите корни, принадлежащие отрезку $[2\pi; 3\pi]$.

а) Решите уравнение $6 \sin^2 x + \cos x - 5 = 0$

Данное уравнение содержит тригонометрические функции разных аргументов. Чтобы привести его к одному аргументу, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Отсюда выразим $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:
$6(1 - \cos^2 x) + \cos x - 5 = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:
$6 - 6\cos^2 x + \cos x - 5 = 0$
$-6\cos^2 x + \cos x + 1 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы коэффициент при старшей степени был положительным:
$6\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$. Так как область значений функции косинус – это отрезок $[-1, 1]$, то $t \in [-1; 1]$.
Получаем уравнение:
$6t^2 - t - 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 5}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 5}{2 \cdot 6} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$

Оба найденных значения $t$ удовлетворяют условию $t \in [-1; 1]$.
Вернемся к замене:

1) $\cos x = \frac{1}{2}$
$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $\cos x = -\frac{1}{3}$
$x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad \pm \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}.$

б) Найдите корни, принадлежащие отрезку $[2\pi; 3\pi]$

Отберем корни, используя метод неравенств.

1. Для серии $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$:
$2\pi \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le 3\pi$
Разделим на $\pi$: $2 \le \frac{1}{3} + 2n \le 3$
Вычтем $\frac{1}{3}$: $2 - \frac{1}{3} \le 2n \le 3 - \frac{1}{3} \implies \frac{5}{3} \le 2n \le \frac{8}{3}$
Разделим на 2: $\frac{5}{6} \le n \le \frac{8}{6} \implies \frac{5}{6} \le n \le \frac{4}{3}$.
Единственное целое значение в этом промежутке – $n=1$.
При $n=1$ корень равен: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$.

2. Для серии $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$:
$2\pi \le -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le 3\pi$
Разделим на $\pi$: $2 \le -\frac{1}{3} + 2n \le 3$
Прибавим $\frac{1}{3}$: $2 + \frac{1}{3} \le 2n \le 3 + \frac{1}{3} \implies \frac{7}{3} \le 2n \le \frac{10}{3}$
Разделим на 2: $\frac{7}{6} \le n \le \frac{10}{6} \implies 1\frac{1}{6} \le n \le 1\frac{2}{3}$.
В этом промежутке нет целых значений $n$.

3. Для серии $x = \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi k$:
Оценим значение $\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)$. Так как $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\cos(\pi) = -1$, то $\frac{\pi}{2} < \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) < \pi$.
$2\pi \le \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi k \le 3\pi$
Разделим на $\pi$: $2 \le \frac{\arccos(-\frac{1}{3})}{\pi} + 2k \le 3$.
Поскольку $0.5 < \frac{\arccos(-\frac{1}{3})}{\pi} < 1$, то при $k=1$ получаем: $2 \le \frac{\arccos(-\frac{1}{3})}{\pi} + 2 \le 3$, что равносильно $0 \le \frac{\arccos(-\frac{1}{3})}{\pi} \le 1$. Это верно.
При $k=0$ корень будет меньше $2\pi$, а при $k=2$ – больше $3\pi$.
Следовательно, подходит только $k=1$.
Корень: $x = \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi$.

4. Для серии $x = -\arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi k$:
Так как $\frac{\pi}{2} < \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) < \pi$, то $-\pi < -\arccos\left(-\frac{1}{3}\right) < -\frac{\pi}{2}$.
$2\pi \le -\arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi k \le 3\pi$.
При $k=1$: $x = 2\pi - \arccos\left(-\frac{1}{3}\right)$. Так как $2\pi - \pi < x < 2\pi - \frac{\pi}{2}$, получаем $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$. Этот корень не входит в отрезок $[2\pi; 3\pi]$.
При $k=2$: $x = 4\pi - \arccos\left(-\frac{1}{3}\right)$. Так как $4\pi - \pi < x < 4\pi - \frac{\pi}{2}$, получаем $3\pi < x < \frac{7\pi}{2}$. Этот корень не входит в отрезок $[2\pi; 3\pi]$.
В этой серии нет корней на заданном отрезке.

Ответ: $\frac{7\pi}{3}, \quad 2\pi + \arccos\left(-\frac{1}{3}\right)$.

309 ЕГЭ Первый час автомобиль ехал со скоростью 90 км/ч, следующие три часа — со скоростью 75 км/ч, а затем ещё три часа — со скоростью 70 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Средняя скорость автомобиля вычисляется как отношение всего пройденного пути ко всему времени движения. Формула для расчета средней скорости: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Весь путь автомобиля состоит из трех участков. Сначала найдем расстояние, пройденное на каждом участке, используя формулу $S = v \cdot t$, где $S$ - расстояние, $v$ - скорость, $t$ - время.

1. Расстояние, пройденное на первом участке: $S_1 = 90 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 90 \text{ км}$

2. Расстояние, пройденное на втором участке: $S_2 = 75 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 225 \text{ км}$

3. Расстояние, пройденное на третьем участке: $S_3 = 70 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 210 \text{ км}$

Теперь вычислим общий пройденный путь $S_{общ}$ как сумму расстояний на всех участках: $S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 = 90 + 225 + 210 = 525 \text{ км}$

Затем вычислим общее время движения $t_{общ}$: $t_{общ} = 1 \text{ ч} + 3 \text{ ч} + 3 \text{ ч} = 7 \text{ ч}$

Наконец, найдем среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути: $v_{ср} = \frac{525 \text{ км}}{7 \text{ ч}} = 75 \text{ км/ч}$

Ответ: 75

310 Мотоциклист сначала ехал некоторое время со скоростью $40 \text{ км/ч}$, потом такое же время он ехал со скоростью $50 \text{ км/ч}$. Какова средняя скорость движения мотоциклиста на всём пути?

Для нахождения средней скорости движения мотоциклиста необходимо разделить весь пройденный им путь на общее время движения. Обозначим время, в течение которого мотоциклист ехал с каждой скоростью, как $t$.

1. Сначала найдем расстояние, которое мотоциклист проехал на первом участке пути. Его скорость была $v_1 = 40$ км/ч, а время в пути — $t$.

Расстояние $S_1$ вычисляется по формуле $S = v \cdot t$:

$S_1 = 40 \cdot t$ км.

2. Затем найдем расстояние, которое он проехал на втором участке. Его скорость была $v_2 = 50$ км/ч, а время в пути было таким же, то есть $t$.

Расстояние $S_2$:

$S_2 = 50 \cdot t$ км.

3. Теперь вычислим общий путь ($S_{общ}$) как сумму расстояний двух участков:

$S_{общ} = S_1 + S_2 = 40t + 50t = 90t$ км.

4. Общее время в пути ($T_{общ}$) равно сумме времени на каждом участке:

$T_{общ} = t + t = 2t$ ч.

5. Наконец, найдем среднюю скорость ($v_{ср}$), разделив общий путь на общее время:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{T_{общ}} = \frac{90t}{2t}$

Переменная времени $t$ сокращается, и мы получаем численный ответ:

$v_{ср} = \frac{90}{2} = 45$ км/ч.

Стоит отметить, что в случае, когда движение на разных участках происходит в течение одинаковых промежутков времени, средняя скорость является средним арифметическим скоростей на этих участках: $v_{ср} = \frac{v_1+v_2}{2}$.

Ответ: 45 км/ч.