Страница 399 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

286 Первый пешеход может пройти расстояние между двумя пунктами на 5 ч быстрее, чем второй. Если пешеходы выйдут из этих пунктов одновременно навстречу друг другу, то встретятся через 6 ч. За сколько часов каждый из них может пройти это расстояние?

Пусть $t_1$ — время, за которое первый пешеход проходит все расстояние, а $t_2$ — время, за которое второй пешеход проходит то же расстояние. Примем все расстояние между пунктами за 1 условную единицу.

Тогда скорость первого пешехода равна $v_1 = \frac{1}{t_1}$ (часть расстояния в час), а скорость второго — $v_2 = \frac{1}{t_2}$ (часть расстояния в час).

Из условия задачи известно, что первый пешеход проходит расстояние на 5 часов быстрее, чем второй. Это можно записать в виде уравнения:

$t_1 = t_2 - 5$

или

$t_2 = t_1 + 5$

Когда пешеходы выходят одновременно навстречу друг другу, их скорости складываются. Их общая скорость сближения равна $v_{сбл} = v_1 + v_2$. Они встречаются через 6 часов, а это значит, что за 6 часов они вместе проходят все расстояние (1 условную единицу). Таким образом, их совместная скорость равна $\frac{1}{6}$ расстояния в час.

Составим второе уравнение:

$v_1 + v_2 = \frac{1}{6}$

Подставим в него выражения для скоростей через время:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{6}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} t_2 = t_1 + 5 \\ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{6} \end{cases}$

Подставим выражение для $t_2$ из первого уравнения во второе:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_1 + 5} = \frac{1}{6}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю:

$\frac{t_1 + 5 + t_1}{t_1(t_1 + 5)} = \frac{1}{6}$

$\frac{2t_1 + 5}{t_1^2 + 5t_1} = \frac{1}{6}$

Используя свойство пропорции, получим:

$6(2t_1 + 5) = t_1^2 + 5t_1$

$12t_1 + 30 = t_1^2 + 5t_1$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t_1^2 + 5t_1 - 12t_1 - 30 = 0$

$t_1^2 - 7t_1 - 30 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2$

Найдем корни уравнения:

$t_{1,1} = \frac{-(-7) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$t_{1,2} = \frac{-(-7) - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Так как время не может быть отрицательной величиной, корень $t_1 = -3$ не является решением задачи. Следовательно, время первого пешехода $t_1 = 10$ часов.

Теперь найдем время второго пешехода:

$t_2 = t_1 + 5 = 10 + 5 = 15$ часов.

Ответ: первый пешеход может пройти расстояние за 10 часов, а второй — за 15 часов.

287 Из пункта $M$ в пункт $N$ выходит первый пешеход, а через 2 ч навстречу ему из пункта $N$ в пункт $M$ выходит второй пешеход. К моменту встречи второй пешеход прошёл $\frac{7}{9}$ от расстояния, пройденного к этому моменту первым пешеходом. Сколько часов требуется первому пешеходу на весь путь от $M$ до $N$, если второй пешеход проходит путь от $N$ до $M$ за 7 ч?

Пусть $S$ - расстояние от пункта $M$ до пункта $N$, $v_1$ и $v_2$ - скорости первого и второго пешеходов соответственно.
Пусть $t$ - время, которое был в пути второй пешеход до момента встречи. Поскольку первый пешеход вышел на 2 часа раньше, он был в пути $t+2$ часа.

Расстояние, которое прошел первый пешеход до встречи: $S_1 = v_1(t+2)$.
Расстояние, которое прошел второй пешеход до встречи: $S_2 = v_2 t$.

Из условия задачи известно, что к моменту встречи второй пешеход прошёл $\frac{7}{9}$ от расстояния, пройденного первым:
$S_2 = \frac{7}{9}S_1$.
Также, в момент встречи сумма пройденных ими расстояний равна общему расстоянию $S$:
$S_1 + S_2 = S$.
Подставим соотношение для $S_2$ в уравнение для полного расстояния:
$S_1 + \frac{7}{9}S_1 = S$
$\frac{16}{9}S_1 = S$, откуда $S_1 = \frac{9}{16}S$.
Следовательно, расстояние, пройденное вторым пешеходом, равно $S_2 = S - S_1 = S - \frac{9}{16}S = \frac{7}{16}S$.

По условию, второй пешеход проходит весь путь от $N$ до $M$ за 7 часов. Это позволяет нам найти его скорость:
$v_2 = \frac{S}{7}$.

Теперь мы можем найти время $t$, которое второй пешеход шел до встречи, используя найденное расстояние $S_2$ и скорость $v_2$:
$t = \frac{S_2}{v_2} = \frac{\frac{7}{16}S}{\frac{S}{7}} = \frac{7S}{16} \cdot \frac{7}{S} = \frac{49}{16}$ часа.

Время, которое был в пути первый пешеход до встречи, на 2 часа больше:
$t+2 = \frac{49}{16} + 2 = \frac{49+32}{16} = \frac{81}{16}$ часа.

Зная расстояние $S_1$ и время $t+2$, найдем скорость первого пешехода $v_1$:
$v_1 = \frac{S_1}{t+2} = \frac{\frac{9}{16}S}{\frac{81}{16}} = \frac{9S}{16} \cdot \frac{16}{81} = \frac{9S}{81} = \frac{S}{9}$.

Наконец, определим, сколько часов требуется первому пешеходу на весь путь от $M$ до $N$:
$T_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{\frac{S}{9}} = S \cdot \frac{9}{S} = 9$ часов.

Ответ: 9 часов.

288 Из города A в город B выехал автомобиль. Спустя некоторое время из B в A по той же дороге выехал мотоцикл. Скорости автомобиля и мотоцикла на всём пути постоянны. Автомобиль до встречи с мотоциклом был в пути 7 ч 30 мин, а мотоцикл до встречи ехал 3 ч. Мотоцикл прибыл в A в 23 ч, а автомобиль прибыл в B в 16 ч 30 мин. Найдите время отправления мотоцикла из города B.

Для решения задачи введем следующие обозначения: $v_a$ и $v_m$ — постоянные скорости автомобиля и мотоцикла соответственно; $t_{a1} = 7 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 7.5 \text{ ч}$ — время движения автомобиля до встречи; $t_{m1} = 3 \text{ ч}$ — время движения мотоцикла до встречи; $t_{a2}$ и $t_{m2}$ — время движения автомобиля и мотоцикла соответственно после встречи до прибытия в пункты назначения.

Пусть расстояние, которое проехал автомобиль до встречи, равно $S_1$, а мотоцикл — $S_2$. Тогда $S_1 = v_a \cdot t_{a1} = 7.5 v_a$, а $S_2 = v_m \cdot t_{m1} = 3 v_m$.

После встречи автомобиль должен был проехать оставшееся расстояние $S_2$ до города B, а мотоцикл — расстояние $S_1$ до города A. Время, которое они на это затратили, можно выразить следующими формулами:
Время автомобиля после встречи: $t_{a2} = \frac{S_2}{v_a} = \frac{3v_m}{v_a}$.
Время мотоцикла после встречи: $t_{m2} = \frac{S_1}{v_m} = \frac{7.5v_a}{v_m}$.

Из этих двух уравнений можно выразить отношение скоростей $\frac{v_a}{v_m}$:
Из первого уравнения: $\frac{v_a}{v_m} = \frac{3}{t_{a2}}$.
Из второго уравнения: $\frac{v_a}{v_m} = \frac{t_{m2}}{7.5}$.

Приравняв правые части выражений, получим соотношение между временами движения после встречи:
$\frac{3}{t_{a2}} = \frac{t_{m2}}{7.5} \implies t_{a2} \cdot t_{m2} = 3 \cdot 7.5 = 22.5$.

Теперь свяжем эти промежутки времени с моментами прибытия. Пусть $T_{встр}$ — это момент времени (на часах), когда произошла встреча. Автомобиль прибыл в B в 16:30 (16.5 ч), а мотоцикл в A — в 23:00. Значит:
$T_{встр} + t_{a2} = 16.5 \text{ ч} \implies t_{a2} = 16.5 - T_{встр}$.
$T_{встр} + t_{m2} = 23 \text{ ч} \implies t_{m2} = 23 - T_{встр}$.

Подставим эти выражения в уравнение $t_{a2} \cdot t_{m2} = 22.5$:
$(16.5 - T_{встр}) \cdot (23 - T_{встр}) = 22.5$.
Обозначим $x = T_{встр}$ и решим получившееся квадратное уравнение:
$x^2 - 23x - 16.5x + 16.5 \cdot 23 = 22.5$
$x^2 - 39.5x + 379.5 = 22.5$
$x^2 - 39.5x + 357 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-39.5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 357 = 1560.25 - 1428 = 132.25$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{132.25} = 11.5$.
Найдем корни уравнения для $x$:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{39.5 + 11.5}{2} = \frac{51}{2} = 25.5$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{39.5 - 11.5}{2} = \frac{28}{2} = 14$.

Корень $x_1 = 25.5$ (25:30) не подходит, так как встреча должна произойти до времени прибытия автомобиля в 16:30. Следовательно, время встречи $T_{встр} = 14:00$.

По условию, мотоцикл до встречи ехал 3 часа. Чтобы найти время его отправления из города B, нужно от времени встречи отнять время его движения:
$14:00 - 3 \text{ часа} = 11:00$.

Ответ: 11:00.

289 Из города D в город E с интервалом в 10 мин отправились три рейсовых автобуса. Первый автобус шёл со скоростью на 5 км/ч меньше положенной, второй автобус сохранял положенную скорость, а третий автобус превышал её на 6 км/ч. В результате все три автобуса пришли в город E одновременно. Определите расстояние между городами D и E.

Для решения задачи введем следующие переменные:
$S$ — искомое расстояние между городами D и E (в км).
$v$ — положенная скорость автобуса (в км/ч).

Согласно условию задачи, скорости трех автобусов были следующими:
Скорость первого автобуса: $v_1 = v - 5$ км/ч.
Скорость второго автобуса: $v_2 = v$ км/ч.
Скорость третьего автобуса: $v_3 = v + 6$ км/ч.

Время, которое каждый автобус затратил на путь, можно выразить через расстояние $S$ и соответствующую скорость:
Время первого автобуса: $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{v - 5}$ ч.
Время второго автобуса: $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{S}{v}$ ч.
Время третьего автобуса: $t_3 = \frac{S}{v_3} = \frac{S}{v + 6}$ ч.

Автобусы отправлялись с интервалом в 10 минут. Переведем этот интервал в часы: $10 \text{ мин} = \frac{10}{60} \text{ ч} = \frac{1}{6}$ часа.
Первый автобус выехал раньше всех. Второй выехал на 10 минут позже первого, а третий — на 10 минут позже второго (и на 20 минут позже первого).
Так как все три автобуса прибыли в город Е одновременно, время в пути у более медленных автобусов должно быть больше.

Сравним время прибытия второго и первого автобусов. Второй автобус выехал на $\frac{1}{6}$ часа позже, значит, его время в пути $t_2$ должно быть на $\frac{1}{6}$ часа меньше, чем время в пути первого автобуса $t_1$.
$t_1 - t_2 = \frac{1}{6}$
$\frac{S}{v - 5} - \frac{S}{v} = \frac{1}{6}$

Аналогично, сравним время прибытия третьего и второго автобусов. Третий автобус выехал на $\frac{1}{6}$ часа позже второго, значит, его время в пути $t_3$ должно быть на $\frac{1}{6}$ часа меньше, чем время в пути второго автобуса $t_2$.
$t_2 - t_3 = \frac{1}{6}$
$\frac{S}{v} - \frac{S}{v + 6} = \frac{1}{6}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $S$ и $v$. Приравняем левые части уравнений, так как их правые части равны:
$\frac{S}{v - 5} - \frac{S}{v} = \frac{S}{v} - \frac{S}{v + 6}$

Поскольку расстояние $S$ не равно нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $S$:
$\frac{1}{v - 5} - \frac{1}{v} = \frac{1}{v} - \frac{1}{v + 6}$

Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{v - (v - 5)}{v(v - 5)} = \frac{(v + 6) - v}{v(v + 6)}$
$\frac{5}{v(v - 5)} = \frac{6}{v(v + 6)}$

Так как скорость $v$ не может быть равна нулю, сократим $v$ в знаменателях:
$\frac{5}{v - 5} = \frac{6}{v + 6}$

Решим это уравнение методом перекрестного умножения:
$5(v + 6) = 6(v - 5)$
$5v + 30 = 6v - 30$
$6v - 5v = 30 + 30$
$v = 60$ км/ч.

Мы нашли положенную скорость. Теперь подставим значение $v = 60$ в любое из уравнений системы, чтобы найти расстояние $S$. Возьмем второе уравнение:
$\frac{S}{v} - \frac{S}{v + 6} = \frac{1}{6}$
$\frac{S}{60} - \frac{S}{60 + 6} = \frac{1}{6}$
$\frac{S}{60} - \frac{S}{66} = \frac{1}{6}$

Приведем левую часть к общему знаменателю (660):
$\frac{11S}{660} - \frac{10S}{660} = \frac{1}{6}$
$\frac{S}{660} = \frac{1}{6}$

Отсюда находим $S$:
$S = \frac{660}{6} = 110$ км.

Ответ: Расстояние между городами D и E равно 110 км.

290 Войсковая колонна имеет длину 5 км. Связной, выехав из арьергарда колонны, передал пакет в начало колонны и вернулся обратно. Колонна за это время прошла путь в 12 км. Какой путь прошёл связной?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $L$ — длина войсковой колонны, $L = 5$ км.
• $S_к$ — путь, пройденный колонной, $S_к = 12$ км.
• $S_{св}$ — искомый путь, который прошёл связной.
• $v_к$ — скорость колонны.
• $v_{св}$ — скорость связного.
• $t_1$ — время, за которое связной доехал от конца колонны к её началу.
• $t_2$ — время, за которое связной вернулся от начала колонны к её концу.

Общее время движения связного и колонны равно $t = t_1 + t_2$. За это время колонна прошла путь $S_к = v_к \cdot t$, а связной — путь $S_{св} = v_{св} \cdot t$.

Рассмотрим два этапа движения связного относительно земли.

1. Движение от конца колонны к началу.

Связной движется в том же направлении, что и колонна, но с большей скоростью. Чтобы догнать голову колонны, ему нужно преодолеть первоначальное расстояние $L$ (длину колонны) плюс то расстояние, на которое сместится голова колонны за время $t_1$. Пусть путь, пройденный связным за это время, равен $S_1$, а путь, пройденный колонной, — $S_{к1}$.

$S_1 = L + S_{к1}$

Так как $S_1 = v_{св} \cdot t_1$ и $S_{к1} = v_к \cdot t_1$, получаем:

$v_{св} \cdot t_1 = L + v_к \cdot t_1$

Отсюда можно выразить время $t_1$:

$t_1(v_{св} - v_к) = L \implies t_1 = \frac{L}{v_{св} - v_к}$

2. Движение от начала колонны к концу.

Связной движется в направлении, противоположном движению колонны. За время $t_2$ он проезжает расстояние $S_2$, а хвост колонны проходит расстояние $S_{к2}$. Вместе они преодолевают расстояние, равное длине колонны $L$.

$S_2 + S_{к2} = L$

Так как $S_2 = v_{св} \cdot t_2$ и $S_{к2} = v_к \cdot t_2$, получаем:

$v_{св} \cdot t_2 + v_к \cdot t_2 = L$

Отсюда можно выразить время $t_2$:

$t_2(v_{св} + v_к) = L \implies t_2 = \frac{L}{v_{св} + v_к}$

Теперь свяжем пути, пройденные колонной и связным. Общий путь колонны:

$S_к = v_к \cdot t = v_к (t_1 + t_2) = v_к \left(\frac{L}{v_{св} - v_к} + \frac{L}{v_{св} + v_к}\right)$

Общий путь связного:

$S_{св} = v_{св} \cdot t = v_{св} (t_1 + t_2) = v_{св} \left(\frac{L}{v_{св} - v_к} + \frac{L}{v_{св} + v_к}\right)$

Из этих двух уравнений видно, что отношение их путей равно отношению их скоростей:

$\frac{S_{св}}{S_к} = \frac{v_{св}}{v_к}$

Преобразуем выражение для $S_к$:

$S_к = v_к \cdot L \left(\frac{(v_{св} + v_к) + (v_{св} - v_к)}{(v_{св} - v_к)(v_{св} + v_к)}\right) = v_к \cdot L \cdot \frac{2v_{св}}{v_{св}^2 - v_к^2}$

Теперь заменим $v_{св}$ на $v_к \frac{S_{св}}{S_к}$:

$S_к = v_к \cdot L \cdot \frac{2(v_к \frac{S_{св}}{S_к})}{(v_к \frac{S_{св}}{S_к})^2 - v_к^2} = v_к \cdot L \cdot \frac{2v_к \frac{S_{св}}{S_к}}{v_к^2 (\frac{S_{св}^2}{S_к^2} - 1)} = \frac{2L \frac{S_{св}}{S_к}}{\frac{S_{св}^2 - S_к^2}{S_к^2}} = \frac{2L S_{св} S_к}{S_{св}^2 - S_к^2}$

Мы получили уравнение, связывающее известные величины $L$, $S_к$ и неизвестную $S_{св}$:

$S_к = \frac{2L S_{св} S_к}{S_{св}^2 - S_к^2}$

Так как $S_к \neq 0$, можно сократить на $S_к$:

$1 = \frac{2L S_{св}}{S_{св}^2 - S_к^2}$

$S_{св}^2 - S_к^2 = 2L S_{св}$

Получаем квадратное уравнение относительно $S_{св}$:

$S_{св}^2 - 2L S_{св} - S_к^2 = 0$

Решим его, используя формулу для корней квадратного уравнения:

$S_{св} = \frac{-(-2L) \pm \sqrt{(-2L)^2 - 4(1)(-S_к^2)}}{2} = \frac{2L \pm \sqrt{4L^2 + 4S_к^2}}{2} = L \pm \sqrt{L^2 + S_к^2}$

Поскольку путь не может быть отрицательным, а $\sqrt{L^2 + S_к^2} > L$, физический смысл имеет только решение со знаком "+".

$S_{св} = L + \sqrt{L^2 + S_к^2}$

Подставим числовые значения $L = 5$ км и $S_к = 12$ км:

$S_{св} = 5 + \sqrt{5^2 + 12^2} = 5 + \sqrt{25 + 144} = 5 + \sqrt{169} = 5 + 13 = 18$ км.

Ответ: Связной прошёл путь в 18 км.

291 При покупке 14 аудиокассет, часть из которых с записью, заплатили с условных денежных единиц. Чистая аудиокассета стоит 15 условных денежных единиц, а кассета с записью — 20 условных денежных единиц. Сколько аудиокассет с записью было куплено?

В условии задачи, по-видимому, имеется опечатка и пропущена общая сумма, уплаченная за кассеты. Фраза "заплатили с условных денежных единиц" является неполной. Основываясь на стандартных вариантах этой задачи, мы можем предположить, что общая сумма покупки составляет 240 условных денежных единиц. Далее решение будет основано на этом предположении.

Для решения задачи составим систему уравнений.

Пусть $x$ — количество купленных аудиокассет с записью, а $y$ — количество купленных чистых аудиокассет.

Всего было куплено 14 кассет, что можно выразить первым уравнением:

$x + y = 14$

Стоимость одной кассеты с записью — 20 у.е., а одной чистой кассеты — 15 у.е. Общая стоимость покупки — 240 у.е. Это можно выразить вторым уравнением:

$20x + 15y = 240$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} x + y = 14 \\ 20x + 15y = 240 \end{cases}$

Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 14 - x$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$20x + 15(14 - x) = 240$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$. Сначала раскроем скобки:

$20x + 15 \cdot 14 - 15x = 240$

$20x + 210 - 15x = 240$

Приведем подобные слагаемые:

$(20-15)x + 210 = 240$

$5x + 210 = 240$

Перенесем 210 в правую часть уравнения:

$5x = 240 - 210$

$5x = 30$

Найдем $x$:

$x = \frac{30}{5}$

$x = 6$

Таким образом, количество аудиокассет с записью равно 6. Можно также найти количество чистых кассет: $y = 14 - 6 = 8$.

Проверим правильность решения, подставив найденные значения в уравнение стоимости: $20 \cdot 6 + 15 \cdot 8 = 120 + 120 = 240$. Решение верное.

Ответ: было куплено 6 аудиокассет с записью.

292 Купил Роман раков, вчера — мелких, по цене 51 к. за штуку, а сегодня — по 99 к., но очень крупных. Всего на раков он истратил 25 р. 20 к., из них переплаты из-за отсутствия сдачи в сумме составили от 16 до 20 к. Определите, сколько раков купил Роман вчера и сколько сегодня.

Для решения задачи переведем все денежные суммы в копейки. Общая уплаченная сумма составляет 25 рублей 20 копеек, что равно $25 \times 100 + 20 = 2520$ копеек.

Обозначим за $x$ количество раков, купленных вчера по цене 51 копейка за штуку, и за $y$ — количество раков, купленных сегодня по цене 99 копеек за штуку. Согласно условию, $x$ и $y$ должны быть целыми положительными числами.

Фактическая стоимость всех купленных раков вычисляется по формуле $51x + 99y$ копеек. Роман истратил 2520 копеек, при этом переплата из-за отсутствия сдачи составила от 16 до 20 копеек. Это означает, что фактическая стоимость покупки ($C_{факт}$) меньше уплаченной суммы на величину переплаты:

$C_{факт} = 2520 - \text{переплата}$

Поскольку $16 \le \text{переплата} \le 20$, то для фактической стоимости получаем следующее двойное неравенство:

$2520 - 20 \le 51x + 99y \le 2520 - 16$

$2500 \le 51x + 99y \le 2504$

Теперь проанализируем выражение для стоимости $51x + 99y$. Оба коэффициента, 51 и 99, делятся на 3 ($51 = 3 \times 17$, $99 = 3 \times 33$). Следовательно, вся сумма должна быть кратна 3:

$51x + 99y = 3(17x + 33y)$

Найдем, какое из целых чисел в диапазоне $[2500, 2504]$ делится на 3 без остатка. Воспользуемся признаком делимости на 3 (сумма цифр числа должна делиться на 3):

2500: $2+5+0+0=7$ (не делится на 3)
2501: $2+5+0+1=8$ (не делится на 3)
2502: $2+5+0+2=9$ (делится на 3)
2503: $2+5+0+3=10$ (не делится на 3)
2504: $2+5+0+4=11$ (не делится на 3)

Единственное подходящее значение — 2502. Значит, фактическая стоимость всех раков равна 2502 копейки. Переплата при этом составила $2520 - 2502 = 18$ копеек, что соответствует условию (от 16 до 20 копеек).

Теперь нам нужно решить в целых положительных числах уравнение:

$51x + 99y = 2502$

Разделим обе части уравнения на 3:

$17x + 33y = 834$

Выразим $x$ через $y$, чтобы найти ограничения на $y$:

$17x = 834 - 33y$

Поскольку $x$ должно быть положительным числом ($x > 0$), то и правая часть должна быть положительной: $834 - 33y > 0$. Отсюда получаем:

$33y < 834 \implies y < \frac{834}{33} \approx 25.27$

Для того чтобы $x$ был целым, выражение $834 - 33y$ должно делиться на 17. Рассмотрим уравнение в виде сравнения по модулю 17:

$17x + 33y \equiv 834 \pmod{17}$

Учитывая, что $17x \equiv 0 \pmod{17}$, $33 = 2 \times 17 - 1 \equiv -1 \pmod{17}$ и $834 = 49 \times 17 + 1 \equiv 1 \pmod{17}$, получаем:

$0 + (-1)y \equiv 1 \pmod{17}$

$-y \equiv 1 \pmod{17} \implies y \equiv -1 \pmod{17}$, что эквивалентно $y \equiv 16 \pmod{17}$.

Это означает, что число $y$ при делении на 17 дает в остатке 16. Возможные положительные значения для $y$: 16, 33, 50 и так далее. Учитывая ранее найденное ограничение $y < 25.27$, единственным подходящим значением является $y=16$.

Подставим найденное значение $y=16$ в уравнение, чтобы найти $x$:

$17x + 33(16) = 834$

$17x + 528 = 834$

$17x = 834 - 528$

$17x = 306$

$x = \frac{306}{17} = 18$

Таким образом, вчера Роман купил $x=18$ раков, а сегодня — $y=16$ раков.

Ответ: Вчера Роман купил 18 раков, а сегодня — 16 раков.

293 Иван Петрович приобрёл в начале года $k$ акций банка «Надежда», часть из которых простые, а другая часть — привилегированные. За год доход составил 16 условных денежных единиц по одной простой акции и 21 условную денежную единицу по одной привилегированной акции. Сколько привилегированных акций приобрёл Иван Петрович, если за год доход по всем акциям составил 269 условных денежных единиц?

Пусть $x$ — количество простых акций, а $y$ — количество привилегированных акций, которые приобрёл Иван Петрович.

Согласно условию задачи, доход по одной простой акции составляет 16 условных денежных единиц, а по одной привилегированной — 21 условную денежную единицу.

Общий доход от простых акций составляет $16x$ условных денежных единиц.

Общий доход от привилегированных акций составляет $21y$ условных денежных единиц.

Суммарный доход по всем акциям равен 269 условных денежных единиц. Можем составить уравнение:

$16x + 21y = 269$

Поскольку $x$ и $y$ — это количество акций, они должны быть целыми положительными числами (в условии сказано, что были куплены акции обоих видов: "часть из которых простые, а другая часть — привилегированные").

Для решения этого диофантова уравнения выразим $x$ через $y$:

$16x = 269 - 21y$

$x = \frac{269 - 21y}{16}$

Так как $x$ должен быть положительным числом ($x > 0$), то и числитель дроби должен быть положительным:

$269 - 21y > 0$

$269 > 21y$

$y < \frac{269}{21}$

$y < 12.809...$

Следовательно, $y$ может быть целым числом от 1 до 12. Также, для того чтобы $x$ был целым, выражение $(269 - 21y)$ должно делиться на 16 без остатка.

Рассмотрим уравнение по модулю 16, чтобы найти подходящее значение $y$:

$16x + 21y \equiv 269 \pmod{16}$

Так как $16x \equiv 0 \pmod{16}$, $21 \equiv 5 \pmod{16}$ и $269 = 16 \cdot 16 + 13 \equiv 13 \pmod{16}$, уравнение принимает вид:

$5y \equiv 13 \pmod{16}$

Теперь необходимо найти такое целое число $y$ в диапазоне от 1 до 12, которое удовлетворяет этому сравнению. Можно проверить значения по порядку.

При $y = 9$:

$5 \cdot 9 = 45$.

$45 = 2 \cdot 16 + 13$, значит $45 \equiv 13 \pmod{16}$.

Значение $y=9$ подходит. Так как решения сравнения $5y \equiv 13 \pmod{16}$ повторяются с периодом 16, других решений в диапазоне от 1 до 12 нет.

Теперь найдем соответствующее значение $x$ при $y = 9$:

$x = \frac{269 - 21 \cdot 9}{16} = \frac{269 - 189}{16} = \frac{80}{16} = 5$

Мы получили, что Иван Петрович приобрел 5 простых акций и 9 привилегированных. Оба числа являются целыми и положительными, что соответствует условию задачи.

Проверим правильность решения:

$16 \cdot 5 + 21 \cdot 9 = 80 + 189 = 269$

Общий доход совпадает с данными в задаче.

Ответ: 9.