Страница 392 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

239 Пустой бак с помощью трёх труб, работающих совместно, можно наполнить за 13 ч 20 мин. Ту же работу первая и третья трубы выполняют за 20 ч, а первая и вторая — за одни сутки. Найдите отношение производительностей первой и второй труб (производительности всех труб постоянны).

Пусть $p_1$, $p_2$ и $p_3$ — производительности первой, второй и третьей труб соответственно, то есть какую часть бака каждая труба наполняет за один час. Весь объем работы (наполнение одного бака) примем за 1.

Сначала переведем все указанные временные интервалы в часы, чтобы работать в единой системе единиц:
Время совместной работы трёх труб: 13 ч 20 мин = $13 \frac{20}{60}$ ч = $13 \frac{1}{3}$ ч = $\frac{40}{3}$ ч.
Время совместной работы первой и третьей труб: 20 ч.
Время совместной работы первой и второй труб: одни сутки = 24 ч.

На основе условия задачи составим систему уравнений, используя формулу «Работа = Производительность × Время», откуда «Производительность = Работа / Время».
1. Суммарная производительность трёх труб: $p_1 + p_2 + p_3 = \frac{1}{40/3} = \frac{3}{40}$ (бака/час).
2. Суммарная производительность первой и третьей труб: $p_1 + p_3 = \frac{1}{20}$ (бака/час).
3. Суммарная производительность первой и второй труб: $p_1 + p_2 = \frac{1}{24}$ (бака/час).

Получили систему из трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:
$\begin{cases} p_1 + p_2 + p_3 = \frac{3}{40} \\ p_1 + p_3 = \frac{1}{20} \\ p_1 + p_2 = \frac{1}{24} \end{cases}$

Для нахождения производительности второй трубы ($p_2$), вычтем второе уравнение из первого:
$(p_1 + p_2 + p_3) - (p_1 + p_3) = \frac{3}{40} - \frac{1}{20}$
$p_2 = \frac{3}{40} - \frac{2}{40} = \frac{1}{40}$ (бака/час).

Теперь, зная производительность второй трубы $p_2$, найдем производительность первой трубы $p_1$ из третьего уравнения системы:
$p_1 + p_2 = \frac{1}{24}$
$p_1 = \frac{1}{24} - p_2 = \frac{1}{24} - \frac{1}{40}$
Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 24 и 40 равно 120.
$p_1 = \frac{5}{120} - \frac{3}{120} = \frac{2}{120} = \frac{1}{60}$ (бака/час).

Задача требует найти отношение производительностей первой и второй труб, то есть величину $\frac{p_1}{p_2}$.
$\frac{p_1}{p_2} = \frac{1/60}{1/40} = \frac{1}{60} \cdot 40 = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

Разные задачи

240. Сумма цифр двузначного числа равна 16, цифра его десятков на 2 больше цифры единиц. Найдите это число.

Для решения этой задачи обозначим цифру десятков искомого двузначного числа через $x$, а цифру единиц — через $y$.

Согласно условию, сумма цифр числа равна 16. Это можно записать в виде уравнения: $x + y = 16$

Также известно, что цифра десятков на 2 больше цифры единиц. Это дает нам второе уравнение: $x = y + 2$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными: $$ \begin{cases} x + y = 16 \\ x = y + 2 \end{cases} $$

Для решения системы подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое: $(y + 2) + y = 16$

Решим полученное уравнение относительно $y$: $2y + 2 = 16$
$2y = 16 - 2$
$2y = 14$
$y = \frac{14}{2}$
$y = 7$

Итак, мы нашли цифру единиц, она равна 7. Теперь найдем цифру десятков, подставив значение $y$ во второе уравнение: $x = 7 + 2$
$x = 9$

Таким образом, цифра десятков искомого числа — 9, а цифра единиц — 7. Искомое число — 97.

Выполним проверку:

1. Сумма цифр: $9 + 7 = 16$. (Верно)

2. Цифра десятков на 2 больше цифры единиц: $9 = 7 + 2$. (Верно)

Ответ: 97

241 Пассажир поезда, идущего со скоростью $80 \text{ км/ч}$, заметил, что встречный товарный поезд, скорость которого $70 \text{ км/ч}$, прошёл мимо него за $15 \text{ с}$. Найдите длину товарного поезда.

Для решения этой задачи необходимо найти относительную скорость двух поездов и затем, зная время, вычислить расстояние, которое один поезд прошел относительно другого. Это расстояние и будет равно длине товарного поезда.

1. Определение относительной скорости.

Поскольку поезда движутся навстречу друг другу, их скорости относительно друг друга складываются. Скорость пассажирского поезда $v_1 = 80 \text{ км/ч}$, скорость товарного поезда $v_2 = 70 \text{ км/ч}$.

Относительная скорость $v_{отн}$ равна:

$v_{отн} = v_1 + v_2 = 80 \text{ км/ч} + 70 \text{ км/ч} = 150 \text{ км/ч}$.

2. Перевод единиц измерения.

Время, за которое товарный поезд прошел мимо пассажира, дано в секундах ($t = 15 \text{ с}$), а скорость — в километрах в час. Для согласованности единиц необходимо перевести относительную скорость из км/ч в м/с. Зная, что 1 км = 1000 м и 1 час = 3600 с, получаем:

$v_{отн} = 150 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 150 \times \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 150 \times \frac{5}{18} \text{ м/с} = \frac{750}{18} \text{ м/с} = \frac{125}{3} \text{ м/с}$.

3. Вычисление длины товарного поезда.

Длина товарного поезда ($L$) равна расстоянию, которое он прошел относительно пассажира за время $t$. Используем формулу расстояния: $L = v_{отн} \times t$.

$L = \frac{125}{3} \text{ м/с} \times 15 \text{ с} = 125 \times \frac{15}{3} \text{ м} = 125 \times 5 \text{ м} = 625 \text{ м}$.

Ответ: 625 м.

242 Моторная лодка прошла расстояние между двумя пристанями по течению за 9 ч, а против течения за 10 ч. Определите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна $2 \text{ км/ч}$.

Для решения этой задачи введем следующие обозначения:
Пусть $v_л$ (км/ч) — искомая скорость лодки в стоячей воде (собственная скорость).
Пусть $v_т$ (км/ч) — скорость течения реки. По условию, $v_т = 2$ км/ч.
Пусть $S$ (км) — расстояние между двумя пристанями.

Когда лодка движется по течению, ее скорость равна сумме собственной скорости и скорости течения:
$v_{по\ течению} = v_л + v_т = v_л + 2$ км/ч.
Время, затраченное на путь по течению, составляет $t_1 = 9$ ч.
Расстояние, пройденное по течению, равно: $S = (v_л + 2) \cdot 9$.

Когда лодка движется против течения, ее скорость равна разности собственной скорости и скорости течения:
$v_{против\ течения} = v_л - v_т = v_л - 2$ км/ч.
Время, затраченное на путь против течения, составляет $t_2 = 10$ ч.
Расстояние, пройденное против течения, равно: $S = (v_л - 2) \cdot 10$.

Поскольку расстояние между пристанями в обоих случаях одинаково, мы можем приравнять два полученных выражения для $S$:
$9 \cdot (v_л + 2) = 10 \cdot (v_л - 2)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $v_л$:
Раскроем скобки:
$9v_л + 18 = 10v_л - 20$

Перенесем все слагаемые с $v_л$ в правую часть уравнения, а числовые значения — в левую, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:
$18 + 20 = 10v_л - 9v_л$

Выполним вычисления:
$38 = v_л$

Таким образом, скорость лодки в стоячей воде составляет 38 км/ч.
Ответ: 38 км/ч.

243 a) Для вспашки поля за 8 дней требуется 6 тракторов. Сколько таких же тракторов потребуется, чтобы вспахать поле за 4 дня?

б) Для уборки урожая пшеницы требуется 10 комбайнов на 20 дней. Сколько таких же комбайнов потребуется, чтобы убрать урожай за 8 дней?

а) В данной задаче количество тракторов и количество дней, необходимых для вспашки поля, являются обратно пропорциональными величинами. Это означает, что чем меньше дней дается на работу, тем больше тракторов потребуется для ее выполнения в срок.
1. Сначала определим общий объем работы. Его можно измерить в условных единицах «тракторо-день», умножив количество тракторов на количество дней работы:
$6 \text{ тракторов} \times 8 \text{ дней} = 48 \text{ тракторо-дней}$
Это общий объем работы, который нужно выполнить.
2. Теперь, чтобы найти, сколько тракторов потребуется для выполнения этого же объема работы за 4 дня, мы делим общий объем работы на новое количество дней:
$\frac{48 \text{ тракторо-дней}}{4 \text{ дня}} = 12 \text{ тракторов}$
Другой способ рассуждения: время на вспашку поля уменьшилось в $8 \div 4 = 2$ раза. Следовательно, для выполнения той же работы за меньшее время, количество тракторов нужно увеличить во столько же раз, то есть в 2 раза:
$6 \text{ тракторов} \times 2 = 12 \text{ тракторов}$
Ответ: потребуется 12 тракторов.

б) Эта задача, как и предыдущая, на обратную пропорциональность. Количество комбайнов и количество дней на уборку урожая обратно пропорциональны.
1. Вычислим общий объем работы в «комбайно-днях», который требуется для уборки всего урожая:
$10 \text{ комбайнов} \times 20 \text{ дней} = 200 \text{ комбайно-дней}$
2. Чтобы убрать тот же урожай за 8 дней, необходимо разделить общий объем работы на новый срок:
$\frac{200 \text{ комбайно-дней}}{8 \text{ дней}} = 25 \text{ комбайнов}$
Можно также составить обратную пропорцию. Пусть $x$ — это искомое количество комбайнов.
10 комбайнов успевают за 20 дней.
$x$ комбайнов должны успеть за 8 дней.
Составим уравнение из пропорции: $\frac{x}{10} = \frac{20}{8}$
$x = 10 \times \frac{20}{8} = \frac{200}{8} = 25$
Ответ: потребуется 25 комбайнов.

244 а) От причала А к причалу В отплыли катер и лодка, причём скорость катера в 5 раз больше скорости лодки. Известно, что они плыли с постоянными скоростями, но катер сделал несколько остановок. Сколько времени катер затратил на все остановки, если он доплыл до причала В за 2 ч, а лодка — за 4 ч?

б) Из пункта А в пункт В выехали автомобилист и велосипедист, причём скорость автомобиля в 4 раза больше скорости велосипедиста. Известно, что они ехали с постоянными скоростями, но автомобилист сделал несколько остановок. Сколько времени автомобилист затратил на все остановки, если он доехал до пункта В за 3 ч, а велосипедист — за 5 ч?

а)

Для решения задачи обозначим расстояние между причалами А и В как $S$. Пусть скорость лодки равна $v_л$, тогда скорость катера, которая в 5 раз больше, будет $v_к = 5 \cdot v_л$.

Лодка прошла расстояние $S$ за 4 часа, двигаясь без остановок. Это означает, что мы можем выразить расстояние через скорость и время лодки: $S = v_л \cdot 4$.

Теперь найдем, сколько времени потребовалось бы катеру, чтобы пройти то же расстояние $S$, если бы он двигался без остановок. Назовем это время $t_{движ}$. $t_{движ} = \frac{S}{v_к} = \frac{4 \cdot v_л}{5 \cdot v_л}$

Сократив $v_л$ в числителе и знаменателе, получим время чистого движения катера: $t_{движ} = \frac{4}{5}$ часа.

Это равно $0,8$ часа, или $0,8 \cdot 60 = 48$ минут.

По условию, общее время катера в пути составило 2 часа. Это время складывается из времени движения и времени, потраченного на остановки ($t_{ост}$). Чтобы найти время остановок, нужно из общего времени вычесть время движения: $t_{ост} = 2 - t_{движ} = 2 - \frac{4}{5} = \frac{10}{5} - \frac{4}{5} = \frac{6}{5} = 1,2$ часа.

1,2 часа — это 1 час и $0,2 \cdot 60 = 12$ минут.

Ответ: 1,2 часа.

б)

Обозначим расстояние между пунктами А и В как $S$. Пусть скорость велосипедиста равна $v_{вел}$, тогда скорость автомобиля, которая в 4 раза больше, будет $v_{авт} = 4 \cdot v_{вел}$.

Велосипедист проехал расстояние $S$ за 5 часов без остановок. Таким образом, $S = v_{вел} \cdot 5$.

Найдем время, которое потребовалось бы автомобилю для преодоления того же расстояния $S$ без остановок ($t_{движ}$): $t_{движ} = \frac{S}{v_{авт}} = \frac{5 \cdot v_{вел}}{4 \cdot v_{вел}}$

Сократив $v_{вел}$, получим время движения автомобиля: $t_{движ} = \frac{5}{4}$ часа.

Это равно $1,25$ часа, или 1 час и $0,25 \cdot 60 = 15$ минут.

Общее время, которое автомобилист был в пути, составляет 3 часа. Время на остановки ($t_{ост}$) равно разности между общим временем и временем движения: $t_{ост} = 3 - t_{движ} = 3 - \frac{5}{4} = \frac{12}{4} - \frac{5}{4} = \frac{7}{4} = 1,75$ часа.

1,75 часа — это 1 час и $0,75 \cdot 60 = 45$ минут.

Ответ: 1,75 часа.

245 a) Интервалы движения городских автобусов по трём маршрутам, проходящим через общую остановку, составляют 15, 20 и 24 мин соответственно. Сколько раз с 7 ч 55 мин до 17 ч 5 мин того же дня на этой остановке одновременно встречаются автобусы всех трёх маршрутов, если одна из таких встреч происходит в 12 ч 35 мин?

б) Интервалы движения морских катеров по трём маршрутам, начинающимся на общей пристани, составляют 30, 36 и 45 мин соответственно. Сколько раз с 7 ч 40 мин до 17 ч 35 мин того же дня на этой пристани одновременно встречаются катера всех трёх маршрутов, если одна из таких встреч происходит в 11 ч 15 мин?

а) Чтобы найти, через какие промежутки времени автобусы всех трех маршрутов встречаются одновременно, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их интервалов движения: 15, 20 и 24 минут.

1. Разложим числа на простые множители:
$15 = 3 \cdot 5$
$20 = 2^2 \cdot 5$
$24 = 2^3 \cdot 3$

2. Найдем НОК, взяв каждый множитель в наибольшей степени, в которой он встречается:
$НОК(15, 20, 24) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 120$ минут.

3. Переведем минуты в часы:
$120$ минут $= 2$ часа.
Таким образом, автобусы всех трех маршрутов встречаются каждые 2 часа.

4. Известно, что одна из встреч происходит в 12 ч 35 мин. Найдем все остальные встречи, прибавляя и вычитая 2 часа от этого времени:
...
$12:35 - 2 \cdot 2 = 12:35 - 4:00 = 8:35$
$12:35 - 1 \cdot 2 = 12:35 - 2:00 = 10:35$
$12:35$
$12:35 + 1 \cdot 2 = 12:35 + 2:00 = 14:35$
$12:35 + 2 \cdot 2 = 12:35 + 4:00 = 16:35$
Следующая встреча будет в $18:35$, а предыдущая была в $6:35$.

5. Теперь определим, какие из этих встреч попадают в заданный интервал времени с 7 ч 55 мин до 17 ч 5 мин.
Встречи в 8:35, 10:35, 12:35, 14:35 и 16:35 находятся в этом промежутке.
Всего 5 встреч.

Ответ: 5

б) Чтобы найти, через какие промежутки времени катера всех трех маршрутов встречаются одновременно, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их интервалов движения: 30, 36 и 45 минут.

1. Разложим числа на простые множители:
$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
$36 = 2^2 \cdot 3^2$
$45 = 3^2 \cdot 5$

2. Найдем НОК, взяв каждый множитель в наибольшей степени, в которой он встречается:
$НОК(30, 36, 45) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$ минут.

3. Переведем минуты в часы:
$180$ минут $= 3$ часа.
Таким образом, катера всех трех маршрутов встречаются каждые 3 часа.

4. Известно, что одна из встреч происходит в 11 ч 15 мин. Найдем все остальные встречи, прибавляя и вычитая 3 часа от этого времени:
...
$11:15 - 1 \cdot 3 = 11:15 - 3:00 = 8:15$
$11:15$
$11:15 + 1 \cdot 3 = 11:15 + 3:00 = 14:15$
$11:15 + 2 \cdot 3 = 11:15 + 6:00 = 17:15$
Следующая встреча будет в $20:15$, а предыдущая была в $5:15$.

5. Теперь определим, какие из этих встреч попадают в заданный интервал времени с 7 ч 40 мин до 17 ч 35 мин.
Встречи в 8:15, 11:15, 14:15 и 17:15 находятся в этом промежутке.
Всего 4 встречи.

Ответ: 4