Номер 245, страница 392 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 245, страница 392.

245 a) Интервалы движения городских автобусов по трём маршрутам, проходящим через общую остановку, составляют 15, 20 и 24 мин соответственно. Сколько раз с 7 ч 55 мин до 17 ч 5 мин того же дня на этой остановке одновременно встречаются автобусы всех трёх маршрутов, если одна из таких встреч происходит в 12 ч 35 мин?

б) Интервалы движения морских катеров по трём маршрутам, начинающимся на общей пристани, составляют 30, 36 и 45 мин соответственно. Сколько раз с 7 ч 40 мин до 17 ч 35 мин того же дня на этой пристани одновременно встречаются катера всех трёх маршрутов, если одна из таких встреч происходит в 11 ч 15 мин?

а) Чтобы найти, через какие промежутки времени автобусы всех трех маршрутов встречаются одновременно, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их интервалов движения: 15, 20 и 24 минут.

1. Разложим числа на простые множители:
$15 = 3 \cdot 5$
$20 = 2^2 \cdot 5$
$24 = 2^3 \cdot 3$

2. Найдем НОК, взяв каждый множитель в наибольшей степени, в которой он встречается:
$НОК(15, 20, 24) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 120$ минут.

3. Переведем минуты в часы:
$120$ минут $= 2$ часа.
Таким образом, автобусы всех трех маршрутов встречаются каждые 2 часа.

4. Известно, что одна из встреч происходит в 12 ч 35 мин. Найдем все остальные встречи, прибавляя и вычитая 2 часа от этого времени:
...
$12:35 - 2 \cdot 2 = 12:35 - 4:00 = 8:35$
$12:35 - 1 \cdot 2 = 12:35 - 2:00 = 10:35$
$12:35$
$12:35 + 1 \cdot 2 = 12:35 + 2:00 = 14:35$
$12:35 + 2 \cdot 2 = 12:35 + 4:00 = 16:35$
Следующая встреча будет в $18:35$, а предыдущая была в $6:35$.

5. Теперь определим, какие из этих встреч попадают в заданный интервал времени с 7 ч 55 мин до 17 ч 5 мин.
Встречи в 8:35, 10:35, 12:35, 14:35 и 16:35 находятся в этом промежутке.
Всего 5 встреч.

Ответ: 5

б) Чтобы найти, через какие промежутки времени катера всех трех маршрутов встречаются одновременно, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их интервалов движения: 30, 36 и 45 минут.

1. Разложим числа на простые множители:
$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
$36 = 2^2 \cdot 3^2$
$45 = 3^2 \cdot 5$

2. Найдем НОК, взяв каждый множитель в наибольшей степени, в которой он встречается:
$НОК(30, 36, 45) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$ минут.

3. Переведем минуты в часы:
$180$ минут $= 3$ часа.
Таким образом, катера всех трех маршрутов встречаются каждые 3 часа.

4. Известно, что одна из встреч происходит в 11 ч 15 мин. Найдем все остальные встречи, прибавляя и вычитая 3 часа от этого времени:
...
$11:15 - 1 \cdot 3 = 11:15 - 3:00 = 8:15$
$11:15$
$11:15 + 1 \cdot 3 = 11:15 + 3:00 = 14:15$
$11:15 + 2 \cdot 3 = 11:15 + 6:00 = 17:15$
Следующая встреча будет в $20:15$, а предыдущая была в $5:15$.

5. Теперь определим, какие из этих встреч попадают в заданный интервал времени с 7 ч 40 мин до 17 ч 35 мин.
Встречи в 8:15, 11:15, 14:15 и 17:15 находятся в этом промежутке.
Всего 4 встречи.

Ответ: 4