Номер 249, страница 394 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 249, страница 394.

249 а) Проехав половину пути за 2 ч, водитель увеличил скорость движения на 20 км/ч и поэтому другую половину пути он проехал на полчаса быстрее. Какой путь прошла машина?

б) Проехав половину пути со скоростью 56 км/ч, водитель снизил скорость, и поэтому на вторую половину пути он затратил на $ \frac{1}{3} $ времени больше, чем на первую. С какой скоростью автомобиль проехал вторую половину пути?

в) Проехав $ \frac{2}{3} $ пути за 3 ч, водитель увеличил скорость на 10 км/ч и преодолел остаток пути за 1 ч 15 мин. Какова начальная скорость автомобиля?

г) Автомобилист планировал преодолеть весь путь за 2 ч. Проехав $ \frac{2}{3} $ пути, он уменьшил скорость на 10 км/ч, в результате чего на остаток пути затратил на 32 мин меньше, чем на начальную часть пути. С какой скоростью автомобилист проехал начальную часть пути?

а) Пусть $S$ – весь путь, который прошла машина. Тогда половина пути равна $S/2$.
Первую половину пути машина проехала за $t_1 = 2$ ч. Пусть ее скорость на этом участке была $v_1$.
Тогда $S/2 = v_1 \cdot t_1 = v_1 \cdot 2$. Отсюда можно выразить начальную скорость: $v_1 = S/4$.
На второй половине пути водитель увеличил скорость на 20 км/ч, то есть $v_2 = v_1 + 20$.
Вторую половину пути он проехал на полчаса (0,5 ч) быстрее, значит время в пути составило $t_2 = t_1 - 0.5 = 2 - 0.5 = 1.5$ ч.
Для второй половины пути верно уравнение: $S/2 = v_2 \cdot t_2 = (v_1 + 20) \cdot 1.5$.
Поскольку левые части уравнений для первой и второй половин пути равны ($S/2$), приравняем их правые части:
$2v_1 = 1.5(v_1 + 20)$
$2v_1 = 1.5v_1 + 30$
$2v_1 - 1.5v_1 = 30$
$0.5v_1 = 30$
$v_1 = 30 / 0.5 = 60$ км/ч.
Это начальная скорость. Теперь найдем весь путь $S$, используя формулу $S = 4v_1$.
$S = 4 \cdot 60 = 240$ км.
Ответ: 240 км.

б) Пусть $S_1$ и $S_2$ – первая и вторая половины пути. По условию, $S_1 = S_2$.
Пусть $v_1$ и $v_2$ – скорости на первой и второй половинах пути, а $t_1$ и $t_2$ – соответствующее время.
Известно, что $v_1 = 56$ км/ч. Требуется найти $v_2$.
Из формулы пути $S=vt$ имеем: $S_1 = v_1 \cdot t_1$ и $S_2 = v_2 \cdot t_2$.
Так как $S_1 = S_2$, то $v_1 \cdot t_1 = v_2 \cdot t_2$.
По условию, на вторую половину пути было затрачено на $\frac{1}{3}$ времени больше, чем на первую:
$t_2 = t_1 + \frac{1}{3}t_1 = \frac{4}{3}t_1$.
Подставим это выражение в наше равенство:
$v_1 \cdot t_1 = v_2 \cdot (\frac{4}{3}t_1)$.
Можно сократить обе части уравнения на $t_1$ (так как время не может быть равно нулю):
$v_1 = \frac{4}{3}v_2$.
Отсюда выразим искомую скорость $v_2$:
$v_2 = \frac{3}{4}v_1 = \frac{3}{4} \cdot 56 = 3 \cdot 14 = 42$ км/ч.
Ответ: 42 км/ч.

в) Пусть $v_1$ – первоначальная скорость автомобиля (искомая величина) и $S$ – весь путь.
Первую часть пути, равную $S_1 = \frac{2}{3}S$, автомобиль проехал за $t_1 = 3$ ч.
Следовательно, $\frac{2}{3}S = v_1 \cdot t_1 = 3v_1$. Из этого уравнения можно выразить треть пути: $\frac{1}{3}S = \frac{3}{2}v_1$.
Оставшаяся часть пути составляет $S_2 = S - \frac{2}{3}S = \frac{1}{3}S$.
На этом участке скорость была $v_2 = v_1 + 10$ км/ч.
Время движения на втором участке $t_2 = 1$ ч 15 мин. Переведем минуты в часы: $15 \text{ мин} = 15/60 \text{ ч} = 0.25$ ч. Таким образом, $t_2 = 1.25$ ч.
Для второго участка пути справедливо уравнение: $S_2 = v_2 \cdot t_2$, или $\frac{1}{3}S = (v_1 + 10) \cdot 1.25$.
Теперь у нас есть два выражения для $\frac{1}{3}S$, приравняем их правые части:
$\frac{3}{2}v_1 = (v_1 + 10) \cdot 1.25$
$1.5v_1 = 1.25v_1 + 1.25 \cdot 10$
$1.5v_1 = 1.25v_1 + 12.5$
$1.5v_1 - 1.25v_1 = 12.5$
$0.25v_1 = 12.5$
$v_1 = 12.5 / 0.25 = 50$ км/ч.
Ответ: 50 км/ч.

г) Пусть $v_1$ – скорость, с которой автомобилист проехал начальную часть пути. Это искомая величина.
Поскольку автомобилист планировал преодолеть весь путь $S$ за 2 часа, его плановая скорость равна $S/2$. Логично предположить, что начальная скорость $v_1$ и была плановой скоростью. Итак, $v_1 = S/2$, откуда $S=2v_1$.
Начальная часть пути составляет $S_1 = \frac{2}{3}S$.
Время, затраченное на эту часть: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{\frac{2}{3}S}{v_1}$.
Подставим $S = 2v_1$: $t_1 = \frac{\frac{2}{3}(2v_1)}{v_1} = \frac{\frac{4}{3}v_1}{v_1} = \frac{4}{3}$ ч.
Оставшаяся часть пути $S_2 = S - S_1 = \frac{1}{3}S$.
Скорость на этой части пути была уменьшена на 10 км/ч: $v_2 = v_1 - 10$.
На остаток пути было затрачено на 32 мин меньше, чем на начальную часть. Переведем 32 мин в часы: $32/60 = 8/15$ ч.
Время на остаток пути: $t_2 = t_1 - \frac{8}{15} = \frac{4}{3} - \frac{8}{15} = \frac{20}{15} - \frac{8}{15} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$ ч.
Запишем уравнение для второго участка пути: $S_2 = v_2 \cdot t_2$.
$\frac{1}{3}S = (v_1 - 10) \cdot \frac{4}{5}$.
Подставим $S = 2v_1$ в это уравнение:
$\frac{1}{3}(2v_1) = (v_1 - 10) \cdot \frac{4}{5}$
$\frac{2}{3}v_1 = \frac{4}{5}v_1 - \frac{4}{5} \cdot 10$
$\frac{2}{3}v_1 = \frac{4}{5}v_1 - 8$
$8 = \frac{4}{5}v_1 - \frac{2}{3}v_1$
Приведем дроби к общему знаменателю 15:
$8 = (\frac{12}{15} - \frac{10}{15})v_1$
$8 = \frac{2}{15}v_1$
$v_1 = 8 \cdot \frac{15}{2} = 4 \cdot 15 = 60$ км/ч.
Ответ: 60 км/ч.