Номер 254, страница 394 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 254, страница 394.

254 Моторная лодка проплыла по озеру, а потом поднялась вверх по реке, впадающей в озеро. Путь по озеру на 30% больше, чем путь по реке, а скорость движения лодки против течения на 10% меньше, чем по озеру. На сколько процентов время движения по озеру больше времени движения по реке?

Для решения задачи введем следующие обозначения:
$S_о$ и $t_о$ — путь и время движения по озеру;
$S_р$ и $t_р$ — путь и время движения по реке;
$v_о$ — скорость лодки по озеру (в стоячей воде);
$v_р$ — скорость лодки по реке (против течения).

Исходя из условий задачи, запишем математические соотношения:
1. Путь по озеру на 30% больше, чем путь по реке.
$S_о = S_р + 0.3 \cdot S_р = 1.3 \cdot S_р$
2. Скорость движения лодки против течения на 10% меньше, чем по озеру.
$v_р = v_о - 0.1 \cdot v_о = 0.9 \cdot v_о$

Время движения находится по формуле $t = \frac{S}{v}$. Выразим время для каждого участка пути:
Время по озеру: $t_о = \frac{S_о}{v_о}$
Время по реке: $t_р = \frac{S_р}{v_р}$

Чтобы сравнить время движения, найдем их отношение $\frac{t_о}{t_р}$. Для этого подставим в формулу ранее полученные выражения для пути и скорости:
$\frac{t_о}{t_р} = \frac{S_о / v_о}{S_р / v_р}$
Подставляем $S_о = 1.3 \cdot S_р$ и $v_р = 0.9 \cdot v_о$:
$\frac{t_о}{t_р} = \frac{(1.3 \cdot S_р) / v_о}{S_р / (0.9 \cdot v_о)}$

Теперь упростим полученное выражение. Для этого "перевернем" знаменатель и умножим:
$\frac{t_о}{t_р} = \frac{1.3 \cdot S_р}{v_о} \cdot \frac{0.9 \cdot v_о}{S_р}$
Сокращаем одинаковые переменные ($S_р$ и $v_о$):
$\frac{t_о}{t_р} = 1.3 \cdot 0.9 = 1.17$

Мы получили, что $t_о = 1.17 \cdot t_р$. Это означает, что время движения по озеру составляет 117% от времени движения по реке.
Чтобы найти, на сколько процентов время движения по озеру больше, нужно из 117% вычесть 100%:
$117\% - 100\% = 17\%$

Ответ: время движения по озеру на 17% больше времени движения по реке.