Номер 253, страница 394 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 253, страница 394.

253 По реке из пункта A в пункт B вышел катер. Одновременно из пункта B в пункт A вышла моторная лодка. Пройдя четверть пути от B к A, лодка встретилась с катером. Катер, достигнув пункта B, повернул обратно и прибыл в пункт A одновременно с лодкой. Во сколько раз скорость катера больше скорости лодки?

Обозначим расстояние между пунктами A и B как $S$. Пусть собственная скорость катера (в стоячей воде) равна $v_к$, собственная скорость моторной лодки — $v_л$, а скорость течения реки — $v_р$.

Катер и лодка движутся навстречу друг другу. По условию, они встречаются в тот момент, когда лодка прошла четверть пути от B к A, то есть расстояние $S/4$. За это же время катер, двигаясь из пункта A, прошел оставшуюся часть пути, то есть $S - S/4 = 3S/4$.

Поскольку время до встречи $t_1$ для них одинаково, мы можем составить соотношение их скоростей относительно берега. Пусть $v_{катер, A \to B}$ — скорость катера из A в B, а $v_{лодка, B \to A}$ — скорость лодки из B в A.
$t_1 = \frac{3S/4}{v_{катер, A \to B}} = \frac{S/4}{v_{лодка, B \to A}}$
Из этого равенства следует:
$3 \cdot v_{лодка, B \to A} = v_{катер, A \to B}$

Далее, по условию, катер дошел до пункта B, развернулся и прибыл в пункт A одновременно с лодкой. Это означает, что общее время их движения одинаково.
Общее время движения лодки: $T = \frac{S}{v_{лодка, B \to A}}$.
Общее время движения катера складывается из времени пути из A в B и времени пути из B в A. Пусть скорость катера на обратном пути (из B в A) будет $v_{катер, B \to A}$.
$T = \frac{S}{v_{катер, A \to B}} + \frac{S}{v_{катер, B \to A}}$.

Приравняем общее время и сократим на $S$:
$\frac{1}{v_{лодка, B \to A}} = \frac{1}{v_{катер, A \to B}} + \frac{1}{v_{катер, B \to A}}$
Подставим в это уравнение найденное ранее соотношение $v_{катер, A \to B} = 3 \cdot v_{лодка, B \to A}$:
$\frac{1}{v_{лодка, B \to A}} = \frac{1}{3 \cdot v_{лодка, B \to A}} + \frac{1}{v_{катер, B \to A}}$
$\frac{1}{v_{катер, B \to A}} = \frac{1}{v_{лодка, B \to A}} - \frac{1}{3 \cdot v_{лодка, B \to A}} = \frac{3-1}{3 \cdot v_{лодка, B \to A}} = \frac{2}{3 \cdot v_{лодка, B \to A}}$
Отсюда получаем соотношение для скорости катера на обратном пути:
$v_{катер, B \to A} = \frac{3}{2} v_{лодка, B \to A}$

Теперь введем скорость течения реки $v_р$. Скорости катера при движении в разных направлениях — это $v_к + v_р$ (по течению) и $v_к - v_р$ (против течения). Направление течения неизвестно, поэтому рассмотрим два случая.

Случай 1: Течение реки направлено из A в B.
В этом случае катер из A в B движется по течению, а лодка из B в A — против течения.
$v_{катер, A \to B} = v_к + v_р$
$v_{лодка, B \to A} = v_л - v_р$
Катер на обратном пути из B в A движется против течения: $v_{катер, B \to A} = v_к - v_р$.
Подставим эти выражения в полученные ранее соотношения скоростей:
1) $v_к + v_р = 3(v_л - v_р)$
2) $v_к - v_р = \frac{3}{2}(v_л - v_р)$
Разделим первое уравнение на второе:
$\frac{v_к + v_р}{v_к - v_р} = \frac{3(v_л - v_р)}{\frac{3}{2}(v_л - v_р)} = 2$
$v_к + v_р = 2(v_к - v_р)$
$v_к + v_р = 2v_к - 2v_р$
$v_к = 3v_р$
Подставим $v_к = 3v_р$ во второе уравнение:
$3v_р - v_р = \frac{3}{2}(v_л - v_р)$
$2v_р = \frac{3}{2}(v_л - v_р)$
$4v_р = 3v_л - 3v_р$
$7v_р = 3v_л \implies v_л = \frac{7}{3}v_р$
Теперь найдем искомое отношение скоростей:
$\frac{v_к}{v_л} = \frac{3v_р}{\frac{7}{3}v_р} = \frac{3 \cdot 3}{7} = \frac{9}{7}$

Случай 2: Течение реки направлено из B в A.
В этом случае катер из A в B движется против течения, а лодка из B в A — по течению.
$v_{катер, A \to B} = v_к - v_р$
$v_{лодка, B \to A} = v_л + v_р$
Катер на обратном пути из B в A движется по течению: $v_{катер, B \to A} = v_к + v_р$.
Из наших соотношений мы имеем $v_{катер, A \to B} = 3 v_{лодка, B \to A}$ и $v_{катер, B \to A} = \frac{3}{2} v_{лодка, B \to A}$.
Отсюда следует, что $v_{катер, A \to B} > v_{катер, B \to A}$.
Однако, $v_к - v_р < v_к + v_р$, так как скорость против течения всегда меньше скорости по течению. Получаем противоречие. Следовательно, этот случай невозможен.

Таким образом, единственно возможный результат — это отношение, полученное в первом случае. Скорость катера больше скорости лодки в $\frac{9}{7}$ раз.

Ответ: Скорость катера больше скорости лодки в $\frac{9}{7}$ раза.