Номер 247, страница 393 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 247, страница 393.

247 a) Число 64 разбейте на два слагаемых так, чтобы сумма первого слагаемого и квадрата второго была наименьшей. В ответе запишите большее из слагаемых.

б) Число 180 разбейте на два слагаемых так, чтобы сумма квадрата первого слагаемого и утроенного квадрата второго была наименьшей. В ответе запишите большее из слагаемых.

в) Число 18 разбейте на два слагаемых так, чтобы сумма первого слагаемого и квадрата второго была наименьшей. В ответе запишите большее из слагаемых.

г) Число 19 разложите на два слагаемых так, чтобы их произведение, сложенное с первым из них, было наибольшим. В ответе запишите большее из слагаемых.

а) Пусть число 64 представлено в виде суммы двух слагаемых $x$ и $y$. Согласно условию, $x + y = 64$. Нам необходимо найти такие $x$ и $y$, при которых сумма первого слагаемого и квадрата второго, то есть выражение $S = x + y^2$, будет наименьшей.

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 64 - y$. Подставим это в выражение для $S$:
$S(y) = (64 - y) + y^2 = y^2 - y + 64$.

Мы получили квадратичную функцию $S(y)$. Её график — парабола, ветви которой направлены вверх, следовательно, она имеет точку минимума в своей вершине. Координата $y$ вершины параболы $f(y) = ay^2 + by + c$ вычисляется по формуле $y_0 = -b/(2a)$. Для нашей функции $a=1$, $b=-1$, $c=64$.
$y = -(-1) / (2 \cdot 1) = 1/2 = 0,5$.

Теперь найдем значение первого слагаемого $x$:
$x = 64 - y = 64 - 0,5 = 63,5$.

Таким образом, слагаемые равны 63,5 и 0,5. Большее из них равно 63,5.

Ответ: 63,5

б) Пусть число 180 представлено в виде суммы двух слагаемых $x$ и $y$, то есть $x + y = 180$. Требуется найти наименьшее значение выражения $S = x^2 + 3y^2$, которое представляет собой сумму квадрата первого слагаемого и утроенного квадрата второго.

Выразим $x$ из первого уравнения: $x = 180 - y$. Подставим в выражение для $S$:
$S(y) = (180 - y)^2 + 3y^2 = (180^2 - 2 \cdot 180 \cdot y + y^2) + 3y^2 = 32400 - 360y + 4y^2$.

Функция $S(y) = 4y^2 - 360y + 32400$ является квадратичной с ветвями параболы, направленными вверх ($a=4 > 0$). Её минимум достигается в вершине. Найдем координату $y$ вершины:
$y = -b / (2a) = -(-360) / (2 \cdot 4) = 360 / 8 = 45$.

Найдем второе слагаемое $x$:
$x = 180 - y = 180 - 45 = 135$.

Следовательно, искомые слагаемые — 135 и 45. Большее из них равно 135.

Ответ: 135

в) Пусть число 18 разложено на два слагаемых $x$ и $y$, значит $x + y = 18$. Мы ищем наименьшее значение суммы первого слагаемого и квадрата второго: $S = x + y^2$.

Эта задача аналогична пункту а). Выразим $x = 18 - y$ и подставим в выражение для $S$:
$S(y) = (18 - y) + y^2 = y^2 - y + 18$.

Это квадратичная функция, её график — парабола с ветвями вверх. Минимум находится в вершине. Для $S(y) = y^2 - y + 18$ имеем $a=1$, $b=-1$.
$y = -b / (2a) = -(-1) / (2 \cdot 1) = 1/2 = 0,5$.

Найдем значение $x$:
$x = 18 - y = 18 - 0,5 = 17,5$.

Искомые слагаемые — 17,5 и 0,5. Большее из них — 17,5.

Ответ: 17,5

г) Пусть число 19 представлено в виде суммы двух слагаемых $x$ и $y$: $x + y = 19$. Нам нужно найти наибольшее значение выражения $P$, которое равно произведению слагаемых, сложенному с первым из них: $P = xy + x$.

Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 19 - x$. Подставим это выражение в формулу для $P$:
$P(x) = x(19 - x) + x = 19x - x^2 + x = -x^2 + 20x$.

Мы получили квадратичную функцию $P(x)$. Её график — парабола, ветви которой направлены вниз ($a=-1 < 0$), следовательно, она имеет точку максимума в своей вершине. Найдем координату $x$ вершины:
$x = -b / (2a) = -20 / (2 \cdot (-1)) = -20 / -2 = 10$.

Теперь найдем второе слагаемое $y$:
$y = 19 - x = 19 - 10 = 9$.

Таким образом, слагаемые равны 10 и 9. Большее из них равно 10.

Ответ: 10