Номер 248, страница 393 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 248, страница 393.

248 a) Определите сумму всех таких натуральных чисел $n$, для которых числа 5600 и 3024 делятся без остатка на $n$ и $n + 5$ соответственно.

б) Определите сумму всех таких натуральных чисел $n$, для которых числа 3920 и 4320 делятся без остатка на $n$ и $n + 7$ соответственно.

в) Определите сумму всех таких натуральных чисел $n$, для которых числа 4400 и 2376 делятся без остатка на $n$ и $n + 5$ соответственно.

г) Определите сумму всех таких натуральных чисел $n$, для которых числа 4312 и 4752 делятся без остатка на $n$ и $n + 7$ соответственно.

а) По условию задачи, $n$ — натуральное число, для которого выполняются два условия: $5600$ делится на $n$ и $3024$ делится на $n + 5$. Запишем это в виде делимости: $n | 5600$ и $(n+5) | 3024$.
Разложим числа $5600$ и $3024$ на простые множители:
$5600 = 56 \cdot 100 = 8 \cdot 7 \cdot 10^2 = 2^3 \cdot 7 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^5 \cdot 5^2 \cdot 7$.
$3024 = 2 \cdot 1512 = 2^2 \cdot 756 = 2^3 \cdot 378 = 2^4 \cdot 189 = 2^4 \cdot 3^3 \cdot 7$.
Из второго условия $(n+5) | 3024$ следует, что $n+5$ является делителем числа $3024$. Число $3024$ не делится на $5$ (так как его последняя цифра не $0$ и не $5$). Следовательно, $n+5$ не может быть кратным $5$.
Если предположить, что $n$ кратно $5$, то $n = 5k$ для некоторого натурального $k$. Тогда $n+5 = 5k+5 = 5(k+1)$ также кратно $5$. Это противоречит тому, что $n+5$ является делителем $3024$. Значит, $n$ не может быть кратным $5$.
Из первого условия $n | 5600$. Так как $n$ — делитель $5600 = 2^5 \cdot 5^2 \cdot 7$ и $n$ не кратно $5$, то $n$ не содержит множителя $5$ в своем разложении. Следовательно, $n$ должно быть делителем числа $5600 / 5^2 = 2^5 \cdot 7 = 224$.
Найдем все натуральные делители числа $224$: $1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 32, 56, 112, 224$.
Теперь для каждого из этих делителей проверим, выполняется ли второе условие $(n+5) | 3024$:
- $n=1: n+5=6$. $3024 = 6 \cdot 504$. Подходит.
- $n=2: n+5=7$. $3024 = 7 \cdot 432$. Подходит.
- $n=4: n+5=9$. $3024 = 9 \cdot 336$. Подходит.
- $n=7: n+5=12$. $3024 = 12 \cdot 252$. Подходит.
- $n=8: n+5=13$. $3024 / 13 \approx 232.6$. Не подходит.
- $n=14: n+5=19$. $3024 / 19 \approx 159.1$. Не подходит.
- $n=16: n+5=21$. $3024 = 21 \cdot 144$. Подходит.
- $n=28: n+5=33$. $3024$ не делится на $11$. Не подходит.
- $n=32: n+5=37$. $3024 / 37 \approx 81.7$. Не подходит.
- $n=56: n+5=61$. $3024 / 61 \approx 49.5$. Не подходит.
- $n=112: n+5=117=9 \cdot 13$. $3024$ не делится на $13$. Не подходит.
- $n=224: n+5=229$. $229$ — простое число, $3024$ на него не делится. Не подходит.
Искомые значения $n$: $1, 2, 4, 7, 16$.
Сумма этих чисел равна: $1 + 2 + 4 + 7 + 16 = 30$.
Ответ: 30

б) По условию, $n | 3920$ и $(n+7) | 4320$.
Разложим числа на простые множители:
$3920 = 392 \cdot 10 = 2 \cdot 196 \cdot 10 = 2 \cdot 14^2 \cdot 10 = 2 \cdot (2 \cdot 7)^2 \cdot (2 \cdot 5) = 2^4 \cdot 5 \cdot 7^2$.
$4320 = 432 \cdot 10 = 216 \cdot 2 \cdot 10 = 6^3 \cdot 2 \cdot 10 = (2 \cdot 3)^3 \cdot 2 \cdot (2 \cdot 5) = 2^5 \cdot 3^3 \cdot 5$.
Из условия $(n+7) | 4320$ следует, что $n+7$ является делителем $4320$. Число $4320$ не делится на $7$. Следовательно, $n+7$ не может быть кратным $7$.
Если $n$ кратно $7$, то $n=7k$, и $n+7 = 7(k+1)$ также кратно $7$. Это противоречие, значит, $n$ не кратно $7$.
Из условия $n | 3920$ и того, что $n$ не делится на $7$, следует, что $n$ является делителем числа $3920 / 7^2 = 2^4 \cdot 5 = 80$.
Делители числа $80$: $1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80$.
Проверим для каждого из них условие $(n+7) | 4320$:
- $n=1: n+7=8$. $4320 = 8 \cdot 540$. Подходит.
- $n=2: n+7=9$. $4320 = 9 \cdot 480$. Подходит.
- $n=4: n+7=11$. $4320$ не делится на $11$. Не подходит.
- $n=5: n+7=12$. $4320 = 12 \cdot 360$. Подходит.
- $n=8: n+7=15$. $4320 = 15 \cdot 288$. Подходит.
- $n=10: n+7=17$. $4320$ не делится на $17$. Не подходит.
- $n=16: n+7=23$. $4320$ не делится на $23$. Не подходит.
- $n=20: n+7=27$. $4320 = 27 \cdot 160$. Подходит.
- $n=40: n+7=47$. $4320$ не делится на $47$. Не подходит.
- $n=80: n+7=87=3 \cdot 29$. $4320$ не делится на $29$. Не подходит.
Искомые значения $n$: $1, 2, 5, 8, 20$.
Сумма этих чисел равна: $1 + 2 + 5 + 8 + 20 = 36$.
Ответ: 36

в) По условию, $n | 4400$ и $(n+5) | 2376$.
Разложим числа на простые множители:
$4400 = 44 \cdot 100 = 4 \cdot 11 \cdot 10^2 = 2^2 \cdot 11 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^4 \cdot 5^2 \cdot 11$.
$2376 = 2 \cdot 1188 = 2^2 \cdot 594 = 2^3 \cdot 297 = 2^3 \cdot 3 \cdot 99 = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 11$.
Число $2376$ не делится на $5$, значит $n+5$ не может быть кратно $5$. Это означает, что $n$ также не кратно $5$.
Из условия $n | 4400$ и того, что $n$ не делится на $5$, следует, что $n$ является делителем числа $4400 / 5^2 = 2^4 \cdot 11 = 176$.
Делители числа $176$: $1, 2, 4, 8, 11, 16, 22, 44, 88, 176$.
Проверим для каждого из них условие $(n+5) | 2376$:
- $n=1: n+5=6$. $2376 = 6 \cdot 396$. Подходит.
- $n=2: n+5=7$. $2376$ не делится на $7$. Не подходит.
- $n=4: n+5=9$. $2376 = 9 \cdot 264$. Подходит.
- $n=8: n+5=13$. $2376$ не делится на $13$. Не подходит.
- $n=11: n+5=16$. $2376 = 8 \cdot 297$, $297$ нечетное, значит $2376$ не делится на $16$. Не подходит.
- $n=16: n+5=21=3 \cdot 7$. $2376$ не делится на $7$. Не подходит.
- $n=22: n+5=27$. $2376 = 27 \cdot 88$. Подходит.
- $n=44: n+5=49=7^2$. $2376$ не делится на $7$. Не подходит.
- $n=88: n+5=93=3 \cdot 31$. $2376$ не делится на $31$. Не подходит.
- $n=176: n+5=181$. $181$ — простое число, $2376$ на него не делится. Не подходит.
Искомые значения $n$: $1, 4, 22$.
Сумма этих чисел равна: $1 + 4 + 22 = 27$.
Ответ: 27

г) По условию, $n | 4312$ и $(n+7) | 4752$.
Разложим числа на простые множители:
$4312 = 8 \cdot 539 = 8 \cdot 7^2 \cdot 11 = 2^3 \cdot 7^2 \cdot 11$.
$4752 = 2 \cdot 2376 = 2 \cdot (2^3 \cdot 3^3 \cdot 11) = 2^4 \cdot 3^3 \cdot 11$.
Число $4752$ не делится на $7$, значит $n+7$ не может быть кратно $7$. Это означает, что $n$ также не кратно $7$.
Из условия $n | 4312$ и того, что $n$ не делится на $7$, следует, что $n$ является делителем числа $4312 / 7^2 = 2^3 \cdot 11 = 88$.
Делители числа $88$: $1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88$.
Проверим для каждого из них условие $(n+7) | 4752$:
- $n=1: n+7=8$. $4752 = 8 \cdot 594$. Подходит.
- $n=2: n+7=9$. $4752 = 9 \cdot 528$. Подходит.
- $n=4: n+7=11$. $4752 = 11 \cdot 432$. Подходит.
- $n=8: n+7=15=3 \cdot 5$. $4752$ не делится на $5$. Не подходит.
- $n=11: n+7=18$. $4752 = 18 \cdot 264$. Подходит.
- $n=22: n+7=29$. $4752$ не делится на $29$. Не подходит.
- $n=44: n+7=51=3 \cdot 17$. $4752$ не делится на $17$. Не подходит.
- $n=88: n+7=95=5 \cdot 19$. $4752$ не делится на $5$. Не подходит.
Искомые значения $n$: $1, 2, 4, 11$.
Сумма этих чисел равна: $1 + 2 + 4 + 11 = 18$.
Ответ: 18