Номер 246, страница 393 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 246, страница 393.

246 a) Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то получится в частном 6 и в остатке 2. Если же это число разделить на произведение его цифр, то получится в частном 5 и в остатке 2. Найдите это число. $10a + b = 6(a+b) + 2$ $10a + b = 5ab + 2$

б) Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 6 и в остатке 1, а если из него вычесть 9, то разность будет двузначным числом, которое отличается от исходного только порядком следования цифр. Найдите это число. $10a + b = 6(a+b) + 1$ $(10a + b) - 9 = 10b + a$

в) Если двузначное число умножить на сумму его цифр, то получится 405. Если число, написанное теми же цифрами в обратном порядке, умножить на сумму его цифр, то получится 486. Найдите это число. $(10a + b)(a+b) = 405$ $(10b + a)(a+b) = 486$

г) Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то получится в частном 6 и в остатке 5. Если же это число разделить на произведение его цифр, то получится в частном 3 и в остатке 8. Найдите это число. $10a + b = 6(a+b) + 5$ $10a + b = 3ab + 8$

а) Пусть искомое двузначное число есть $N$, его цифра десятков — $a$, а цифра единиц — $b$. Тогда число можно записать в виде $N = 10a + b$, где $a \in \{1, ..., 9\}$ и $b \in \{0, ..., 9\}$. Сумма его цифр равна $a+b$, а произведение — $a \cdot b$.
Из первого условия, при делении числа на сумму его цифр получается частное 6 и остаток 2. Это можно записать в виде уравнения: $10a + b = 6(a + b) + 2$. Раскроем скобки и упростим: $10a + b = 6a + 6b + 2$ $4a - 5b = 2$.
Из второго условия, при делении числа на произведение его цифр получается частное 5 и остаток 2: $10a + b = 5(a \cdot b) + 2$. Заметим, что делитель (произведение цифр) должен быть больше остатка, то есть $a \cdot b > 2$. Это означает, что $b \ne 0$.
Из уравнения $4a - 5b = 2$ выразим $a$: $4a = 5b + 2$. Так как $a$ — целое число, $5b+2$ должно быть кратно 4. Переберем возможные значения для $b$ от 1 до 9:

• Если $b=1$, $4a = 5(1)+2=7$ (нет целого $a$).
• Если $b=2$, $4a = 5(2)+2=12$, отсюда $a=3$. Получаем число 32.
• Если $b=3$, $4a = 5(3)+2=17$ (нет целого $a$).
• Если $b=4$, $4a = 5(4)+2=22$ (нет целого $a$).
• Если $b=5$, $4a = 5(5)+2=27$ (нет целого $a$).
• Если $b=6$, $4a = 5(6)+2=32$, отсюда $a=8$. Получаем число 86.
• Дальнейшие значения $b$ не дадут $a \le 9$.

У нас есть два кандидата: 32 и 86. Проверим их по второму условию $10a + b = 5ab + 2$.

• Для числа 32 ($a=3, b=2$): $32 = 5(3 \cdot 2) + 2 \implies 32 = 5(6) + 2 \implies 32 = 30 + 2$. Равенство верно.
• Для числа 86 ($a=8, b=6$): $86 = 5(8 \cdot 6) + 2 \implies 86 = 5(48) + 2 \implies 86 = 240 + 2$. Равенство неверно.

Следовательно, искомое число — 32.
Ответ: 32

б) Пусть искомое число $N = 10a + b$. Сумма его цифр равна $a+b$. Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, равно $10b+a$.
Из первого условия, при делении числа на сумму его цифр получается частное 6 и остаток 1: $10a + b = 6(a + b) + 1$. Упростим это уравнение: $10a + b = 6a + 6b + 1$ $4a - 5b = 1$.
Из второго условия, если из исходного числа вычесть 9, получится число с теми же цифрами в обратном порядке: $(10a + b) - 9 = 10b + a$. Упростим это уравнение: $9a - 9b = 9$ $a - b = 1 \implies a = b + 1$.
Теперь у нас есть система из двух уравнений: $\begin{cases} 4a - 5b = 1 \\ a = b + 1 \end{cases}$ Подставим второе уравнение в первое: $4(b + 1) - 5b = 1$ $4b + 4 - 5b = 1$ $-b = -3 \implies b = 3$.
Найдем $a$: $a = b + 1 = 3 + 1 = 4$. Искомое число: $10a + b = 10(4) + 3 = 43$.
Проверим: $43 = 6(4+3)+1 = 6 \cdot 7 + 1 = 42+1 = 43$. $43-9=34$. Все условия выполнены.
Ответ: 43

в) Пусть искомое число $N = 10a + b$. Сумма его цифр равна $a+b$. Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, равно $10b+a$.
Из первого условия, произведение числа на сумму его цифр равно 405: $(10a + b)(a+b) = 405$.
Из второго условия, произведение числа с переставленными цифрами на сумму его цифр равно 486: $(10b + a)(a+b) = 486$.
Получили систему уравнений: $\begin{cases} (10a + b)(a+b) = 405 \\ (10b + a)(a+b) = 486 \end{cases}$ Разделим второе уравнение на первое (так как $a+b \ne 0$ и правые части не равны нулю): $\frac{(10b + a)(a+b)}{(10a + b)(a+b)} = \frac{486}{405}$ $\frac{10b + a}{10a + b} = \frac{486}{405}$. Сократим дробь $\frac{486}{405}$. Оба числа делятся на 9 (сумма цифр кратна 9), а затем еще на 9: $486 = 81 \cdot 6$, $405 = 81 \cdot 5$. $\frac{10b + a}{10a + b} = \frac{6}{5}$.
Используем свойство пропорции (перекрестное умножение): $5(10b + a) = 6(10a + b)$ $50b + 5a = 60a + 6b$ $44b = 55a$. Разделим обе части на 11: $4b = 5a$. Так как $a$ и $b$ — это цифры ($a \in \{1,...,9\}, b \in \{0,...,9\}$) и числа 4 и 5 взаимно простые, то единственное решение этого уравнения в целых однозначных числах — это $a=4$ и $b=5$.
Искомое число — 45. Проверим: сумма цифр $4+5=9$. $45 \cdot 9 = 405$. $54 \cdot 9 = 486$. Условия выполняются.
Ответ: 45

г) Пусть искомое двузначное число есть $N = 10a + b$. Сумма его цифр равна $a+b$, а произведение — $a \cdot b$.
Из первого условия, при делении числа на сумму его цифр получается частное 6 и остаток 5: $10a + b = 6(a + b) + 5$. Раскроем скобки и упростим: $10a + b = 6a + 6b + 5$ $4a - 5b = 5$.
Из второго условия, при делении числа на произведение его цифр получается частное 3 и остаток 8: $10a + b = 3(a \cdot b) + 8$. Остаток должен быть меньше делителя, поэтому $a+b > 5$ и $a \cdot b > 8$.
Рассмотрим первое уравнение $4a - 5b = 5$. Выразим $4a$: $4a = 5b + 5 \implies 4a = 5(b+1)$. Так как 4 и 5 взаимно простые, то $a$ должно быть кратно 5, а $b+1$ должно быть кратно 4. Поскольку $a$ — это цифра десятков ($a \in \{1, ..., 9\}$), единственное возможное значение для $a$ — это $a=5$. Подставим $a=5$ в уравнение: $4(5) = 5(b+1)$ $20 = 5(b+1)$ $4 = b+1 \implies b = 3$.
Получаем число 53. Проверим, удовлетворяет ли оно всем условиям. $a=5, b=3$. Сумма цифр $a+b = 8$. Произведение $a \cdot b = 15$. Проверка ограничений на остатки: $a+b = 8 > 5$ (верно), $a \cdot b = 15 > 8$ (верно). Проверка первого условия: $53 = 6(5+3) + 5 \implies 53 = 6 \cdot 8 + 5 \implies 53 = 48 + 5$. Равенство верно. Проверка второго условия: $53 = 3(5 \cdot 3) + 8 \implies 53 = 3 \cdot 15 + 8 \implies 53 = 45 + 8$. Равенство верно. Все условия выполнены.
Ответ: 53