Страница 393 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

246 a) Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то получится в частном 6 и в остатке 2. Если же это число разделить на произведение его цифр, то получится в частном 5 и в остатке 2. Найдите это число. $10a + b = 6(a+b) + 2$ $10a + b = 5ab + 2$

б) Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 6 и в остатке 1, а если из него вычесть 9, то разность будет двузначным числом, которое отличается от исходного только порядком следования цифр. Найдите это число. $10a + b = 6(a+b) + 1$ $(10a + b) - 9 = 10b + a$

в) Если двузначное число умножить на сумму его цифр, то получится 405. Если число, написанное теми же цифрами в обратном порядке, умножить на сумму его цифр, то получится 486. Найдите это число. $(10a + b)(a+b) = 405$ $(10b + a)(a+b) = 486$

г) Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то получится в частном 6 и в остатке 5. Если же это число разделить на произведение его цифр, то получится в частном 3 и в остатке 8. Найдите это число. $10a + b = 6(a+b) + 5$ $10a + b = 3ab + 8$

а) Пусть искомое двузначное число есть $N$, его цифра десятков — $a$, а цифра единиц — $b$. Тогда число можно записать в виде $N = 10a + b$, где $a \in \{1, ..., 9\}$ и $b \in \{0, ..., 9\}$. Сумма его цифр равна $a+b$, а произведение — $a \cdot b$.
Из первого условия, при делении числа на сумму его цифр получается частное 6 и остаток 2. Это можно записать в виде уравнения: $10a + b = 6(a + b) + 2$. Раскроем скобки и упростим: $10a + b = 6a + 6b + 2$ $4a - 5b = 2$.
Из второго условия, при делении числа на произведение его цифр получается частное 5 и остаток 2: $10a + b = 5(a \cdot b) + 2$. Заметим, что делитель (произведение цифр) должен быть больше остатка, то есть $a \cdot b > 2$. Это означает, что $b \ne 0$.
Из уравнения $4a - 5b = 2$ выразим $a$: $4a = 5b + 2$. Так как $a$ — целое число, $5b+2$ должно быть кратно 4. Переберем возможные значения для $b$ от 1 до 9:

• Если $b=1$, $4a = 5(1)+2=7$ (нет целого $a$).
• Если $b=2$, $4a = 5(2)+2=12$, отсюда $a=3$. Получаем число 32.
• Если $b=3$, $4a = 5(3)+2=17$ (нет целого $a$).
• Если $b=4$, $4a = 5(4)+2=22$ (нет целого $a$).
• Если $b=5$, $4a = 5(5)+2=27$ (нет целого $a$).
• Если $b=6$, $4a = 5(6)+2=32$, отсюда $a=8$. Получаем число 86.
• Дальнейшие значения $b$ не дадут $a \le 9$.

У нас есть два кандидата: 32 и 86. Проверим их по второму условию $10a + b = 5ab + 2$.

• Для числа 32 ($a=3, b=2$): $32 = 5(3 \cdot 2) + 2 \implies 32 = 5(6) + 2 \implies 32 = 30 + 2$. Равенство верно.
• Для числа 86 ($a=8, b=6$): $86 = 5(8 \cdot 6) + 2 \implies 86 = 5(48) + 2 \implies 86 = 240 + 2$. Равенство неверно.

Следовательно, искомое число — 32.
Ответ: 32

б) Пусть искомое число $N = 10a + b$. Сумма его цифр равна $a+b$. Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, равно $10b+a$.
Из первого условия, при делении числа на сумму его цифр получается частное 6 и остаток 1: $10a + b = 6(a + b) + 1$. Упростим это уравнение: $10a + b = 6a + 6b + 1$ $4a - 5b = 1$.
Из второго условия, если из исходного числа вычесть 9, получится число с теми же цифрами в обратном порядке: $(10a + b) - 9 = 10b + a$. Упростим это уравнение: $9a - 9b = 9$ $a - b = 1 \implies a = b + 1$.
Теперь у нас есть система из двух уравнений: $\begin{cases} 4a - 5b = 1 \\ a = b + 1 \end{cases}$ Подставим второе уравнение в первое: $4(b + 1) - 5b = 1$ $4b + 4 - 5b = 1$ $-b = -3 \implies b = 3$.
Найдем $a$: $a = b + 1 = 3 + 1 = 4$. Искомое число: $10a + b = 10(4) + 3 = 43$.
Проверим: $43 = 6(4+3)+1 = 6 \cdot 7 + 1 = 42+1 = 43$. $43-9=34$. Все условия выполнены.
Ответ: 43

в) Пусть искомое число $N = 10a + b$. Сумма его цифр равна $a+b$. Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, равно $10b+a$.
Из первого условия, произведение числа на сумму его цифр равно 405: $(10a + b)(a+b) = 405$.
Из второго условия, произведение числа с переставленными цифрами на сумму его цифр равно 486: $(10b + a)(a+b) = 486$.
Получили систему уравнений: $\begin{cases} (10a + b)(a+b) = 405 \\ (10b + a)(a+b) = 486 \end{cases}$ Разделим второе уравнение на первое (так как $a+b \ne 0$ и правые части не равны нулю): $\frac{(10b + a)(a+b)}{(10a + b)(a+b)} = \frac{486}{405}$ $\frac{10b + a}{10a + b} = \frac{486}{405}$. Сократим дробь $\frac{486}{405}$. Оба числа делятся на 9 (сумма цифр кратна 9), а затем еще на 9: $486 = 81 \cdot 6$, $405 = 81 \cdot 5$. $\frac{10b + a}{10a + b} = \frac{6}{5}$.
Используем свойство пропорции (перекрестное умножение): $5(10b + a) = 6(10a + b)$ $50b + 5a = 60a + 6b$ $44b = 55a$. Разделим обе части на 11: $4b = 5a$. Так как $a$ и $b$ — это цифры ($a \in \{1,...,9\}, b \in \{0,...,9\}$) и числа 4 и 5 взаимно простые, то единственное решение этого уравнения в целых однозначных числах — это $a=4$ и $b=5$.
Искомое число — 45. Проверим: сумма цифр $4+5=9$. $45 \cdot 9 = 405$. $54 \cdot 9 = 486$. Условия выполняются.
Ответ: 45

г) Пусть искомое двузначное число есть $N = 10a + b$. Сумма его цифр равна $a+b$, а произведение — $a \cdot b$.
Из первого условия, при делении числа на сумму его цифр получается частное 6 и остаток 5: $10a + b = 6(a + b) + 5$. Раскроем скобки и упростим: $10a + b = 6a + 6b + 5$ $4a - 5b = 5$.
Из второго условия, при делении числа на произведение его цифр получается частное 3 и остаток 8: $10a + b = 3(a \cdot b) + 8$. Остаток должен быть меньше делителя, поэтому $a+b > 5$ и $a \cdot b > 8$.
Рассмотрим первое уравнение $4a - 5b = 5$. Выразим $4a$: $4a = 5b + 5 \implies 4a = 5(b+1)$. Так как 4 и 5 взаимно простые, то $a$ должно быть кратно 5, а $b+1$ должно быть кратно 4. Поскольку $a$ — это цифра десятков ($a \in \{1, ..., 9\}$), единственное возможное значение для $a$ — это $a=5$. Подставим $a=5$ в уравнение: $4(5) = 5(b+1)$ $20 = 5(b+1)$ $4 = b+1 \implies b = 3$.
Получаем число 53. Проверим, удовлетворяет ли оно всем условиям. $a=5, b=3$. Сумма цифр $a+b = 8$. Произведение $a \cdot b = 15$. Проверка ограничений на остатки: $a+b = 8 > 5$ (верно), $a \cdot b = 15 > 8$ (верно). Проверка первого условия: $53 = 6(5+3) + 5 \implies 53 = 6 \cdot 8 + 5 \implies 53 = 48 + 5$. Равенство верно. Проверка второго условия: $53 = 3(5 \cdot 3) + 8 \implies 53 = 3 \cdot 15 + 8 \implies 53 = 45 + 8$. Равенство верно. Все условия выполнены.
Ответ: 53

247 a) Число 64 разбейте на два слагаемых так, чтобы сумма первого слагаемого и квадрата второго была наименьшей. В ответе запишите большее из слагаемых.

б) Число 180 разбейте на два слагаемых так, чтобы сумма квадрата первого слагаемого и утроенного квадрата второго была наименьшей. В ответе запишите большее из слагаемых.

в) Число 18 разбейте на два слагаемых так, чтобы сумма первого слагаемого и квадрата второго была наименьшей. В ответе запишите большее из слагаемых.

г) Число 19 разложите на два слагаемых так, чтобы их произведение, сложенное с первым из них, было наибольшим. В ответе запишите большее из слагаемых.

а) Пусть число 64 представлено в виде суммы двух слагаемых $x$ и $y$. Согласно условию, $x + y = 64$. Нам необходимо найти такие $x$ и $y$, при которых сумма первого слагаемого и квадрата второго, то есть выражение $S = x + y^2$, будет наименьшей.

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 64 - y$. Подставим это в выражение для $S$:
$S(y) = (64 - y) + y^2 = y^2 - y + 64$.

Мы получили квадратичную функцию $S(y)$. Её график — парабола, ветви которой направлены вверх, следовательно, она имеет точку минимума в своей вершине. Координата $y$ вершины параболы $f(y) = ay^2 + by + c$ вычисляется по формуле $y_0 = -b/(2a)$. Для нашей функции $a=1$, $b=-1$, $c=64$.
$y = -(-1) / (2 \cdot 1) = 1/2 = 0,5$.

Теперь найдем значение первого слагаемого $x$:
$x = 64 - y = 64 - 0,5 = 63,5$.

Таким образом, слагаемые равны 63,5 и 0,5. Большее из них равно 63,5.

Ответ: 63,5

б) Пусть число 180 представлено в виде суммы двух слагаемых $x$ и $y$, то есть $x + y = 180$. Требуется найти наименьшее значение выражения $S = x^2 + 3y^2$, которое представляет собой сумму квадрата первого слагаемого и утроенного квадрата второго.

Выразим $x$ из первого уравнения: $x = 180 - y$. Подставим в выражение для $S$:
$S(y) = (180 - y)^2 + 3y^2 = (180^2 - 2 \cdot 180 \cdot y + y^2) + 3y^2 = 32400 - 360y + 4y^2$.

Функция $S(y) = 4y^2 - 360y + 32400$ является квадратичной с ветвями параболы, направленными вверх ($a=4 > 0$). Её минимум достигается в вершине. Найдем координату $y$ вершины:
$y = -b / (2a) = -(-360) / (2 \cdot 4) = 360 / 8 = 45$.

Найдем второе слагаемое $x$:
$x = 180 - y = 180 - 45 = 135$.

Следовательно, искомые слагаемые — 135 и 45. Большее из них равно 135.

Ответ: 135

в) Пусть число 18 разложено на два слагаемых $x$ и $y$, значит $x + y = 18$. Мы ищем наименьшее значение суммы первого слагаемого и квадрата второго: $S = x + y^2$.

Эта задача аналогична пункту а). Выразим $x = 18 - y$ и подставим в выражение для $S$:
$S(y) = (18 - y) + y^2 = y^2 - y + 18$.

Это квадратичная функция, её график — парабола с ветвями вверх. Минимум находится в вершине. Для $S(y) = y^2 - y + 18$ имеем $a=1$, $b=-1$.
$y = -b / (2a) = -(-1) / (2 \cdot 1) = 1/2 = 0,5$.

Найдем значение $x$:
$x = 18 - y = 18 - 0,5 = 17,5$.

Искомые слагаемые — 17,5 и 0,5. Большее из них — 17,5.

Ответ: 17,5

г) Пусть число 19 представлено в виде суммы двух слагаемых $x$ и $y$: $x + y = 19$. Нам нужно найти наибольшее значение выражения $P$, которое равно произведению слагаемых, сложенному с первым из них: $P = xy + x$.

Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 19 - x$. Подставим это выражение в формулу для $P$:
$P(x) = x(19 - x) + x = 19x - x^2 + x = -x^2 + 20x$.

Мы получили квадратичную функцию $P(x)$. Её график — парабола, ветви которой направлены вниз ($a=-1 < 0$), следовательно, она имеет точку максимума в своей вершине. Найдем координату $x$ вершины:
$x = -b / (2a) = -20 / (2 \cdot (-1)) = -20 / -2 = 10$.

Теперь найдем второе слагаемое $y$:
$y = 19 - x = 19 - 10 = 9$.

Таким образом, слагаемые равны 10 и 9. Большее из них равно 10.

Ответ: 10

248 a) Определите сумму всех таких натуральных чисел $n$, для которых числа 5600 и 3024 делятся без остатка на $n$ и $n + 5$ соответственно.

б) Определите сумму всех таких натуральных чисел $n$, для которых числа 3920 и 4320 делятся без остатка на $n$ и $n + 7$ соответственно.

в) Определите сумму всех таких натуральных чисел $n$, для которых числа 4400 и 2376 делятся без остатка на $n$ и $n + 5$ соответственно.

г) Определите сумму всех таких натуральных чисел $n$, для которых числа 4312 и 4752 делятся без остатка на $n$ и $n + 7$ соответственно.

а) По условию задачи, $n$ — натуральное число, для которого выполняются два условия: $5600$ делится на $n$ и $3024$ делится на $n + 5$. Запишем это в виде делимости: $n | 5600$ и $(n+5) | 3024$.
Разложим числа $5600$ и $3024$ на простые множители:
$5600 = 56 \cdot 100 = 8 \cdot 7 \cdot 10^2 = 2^3 \cdot 7 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^5 \cdot 5^2 \cdot 7$.
$3024 = 2 \cdot 1512 = 2^2 \cdot 756 = 2^3 \cdot 378 = 2^4 \cdot 189 = 2^4 \cdot 3^3 \cdot 7$.
Из второго условия $(n+5) | 3024$ следует, что $n+5$ является делителем числа $3024$. Число $3024$ не делится на $5$ (так как его последняя цифра не $0$ и не $5$). Следовательно, $n+5$ не может быть кратным $5$.
Если предположить, что $n$ кратно $5$, то $n = 5k$ для некоторого натурального $k$. Тогда $n+5 = 5k+5 = 5(k+1)$ также кратно $5$. Это противоречит тому, что $n+5$ является делителем $3024$. Значит, $n$ не может быть кратным $5$.
Из первого условия $n | 5600$. Так как $n$ — делитель $5600 = 2^5 \cdot 5^2 \cdot 7$ и $n$ не кратно $5$, то $n$ не содержит множителя $5$ в своем разложении. Следовательно, $n$ должно быть делителем числа $5600 / 5^2 = 2^5 \cdot 7 = 224$.
Найдем все натуральные делители числа $224$: $1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 32, 56, 112, 224$.
Теперь для каждого из этих делителей проверим, выполняется ли второе условие $(n+5) | 3024$:
- $n=1: n+5=6$. $3024 = 6 \cdot 504$. Подходит.
- $n=2: n+5=7$. $3024 = 7 \cdot 432$. Подходит.
- $n=4: n+5=9$. $3024 = 9 \cdot 336$. Подходит.
- $n=7: n+5=12$. $3024 = 12 \cdot 252$. Подходит.
- $n=8: n+5=13$. $3024 / 13 \approx 232.6$. Не подходит.
- $n=14: n+5=19$. $3024 / 19 \approx 159.1$. Не подходит.
- $n=16: n+5=21$. $3024 = 21 \cdot 144$. Подходит.
- $n=28: n+5=33$. $3024$ не делится на $11$. Не подходит.
- $n=32: n+5=37$. $3024 / 37 \approx 81.7$. Не подходит.
- $n=56: n+5=61$. $3024 / 61 \approx 49.5$. Не подходит.
- $n=112: n+5=117=9 \cdot 13$. $3024$ не делится на $13$. Не подходит.
- $n=224: n+5=229$. $229$ — простое число, $3024$ на него не делится. Не подходит.
Искомые значения $n$: $1, 2, 4, 7, 16$.
Сумма этих чисел равна: $1 + 2 + 4 + 7 + 16 = 30$.
Ответ: 30

б) По условию, $n | 3920$ и $(n+7) | 4320$.
Разложим числа на простые множители:
$3920 = 392 \cdot 10 = 2 \cdot 196 \cdot 10 = 2 \cdot 14^2 \cdot 10 = 2 \cdot (2 \cdot 7)^2 \cdot (2 \cdot 5) = 2^4 \cdot 5 \cdot 7^2$.
$4320 = 432 \cdot 10 = 216 \cdot 2 \cdot 10 = 6^3 \cdot 2 \cdot 10 = (2 \cdot 3)^3 \cdot 2 \cdot (2 \cdot 5) = 2^5 \cdot 3^3 \cdot 5$.
Из условия $(n+7) | 4320$ следует, что $n+7$ является делителем $4320$. Число $4320$ не делится на $7$. Следовательно, $n+7$ не может быть кратным $7$.
Если $n$ кратно $7$, то $n=7k$, и $n+7 = 7(k+1)$ также кратно $7$. Это противоречие, значит, $n$ не кратно $7$.
Из условия $n | 3920$ и того, что $n$ не делится на $7$, следует, что $n$ является делителем числа $3920 / 7^2 = 2^4 \cdot 5 = 80$.
Делители числа $80$: $1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80$.
Проверим для каждого из них условие $(n+7) | 4320$:
- $n=1: n+7=8$. $4320 = 8 \cdot 540$. Подходит.
- $n=2: n+7=9$. $4320 = 9 \cdot 480$. Подходит.
- $n=4: n+7=11$. $4320$ не делится на $11$. Не подходит.
- $n=5: n+7=12$. $4320 = 12 \cdot 360$. Подходит.
- $n=8: n+7=15$. $4320 = 15 \cdot 288$. Подходит.
- $n=10: n+7=17$. $4320$ не делится на $17$. Не подходит.
- $n=16: n+7=23$. $4320$ не делится на $23$. Не подходит.
- $n=20: n+7=27$. $4320 = 27 \cdot 160$. Подходит.
- $n=40: n+7=47$. $4320$ не делится на $47$. Не подходит.
- $n=80: n+7=87=3 \cdot 29$. $4320$ не делится на $29$. Не подходит.
Искомые значения $n$: $1, 2, 5, 8, 20$.
Сумма этих чисел равна: $1 + 2 + 5 + 8 + 20 = 36$.
Ответ: 36

в) По условию, $n | 4400$ и $(n+5) | 2376$.
Разложим числа на простые множители:
$4400 = 44 \cdot 100 = 4 \cdot 11 \cdot 10^2 = 2^2 \cdot 11 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^4 \cdot 5^2 \cdot 11$.
$2376 = 2 \cdot 1188 = 2^2 \cdot 594 = 2^3 \cdot 297 = 2^3 \cdot 3 \cdot 99 = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 11$.
Число $2376$ не делится на $5$, значит $n+5$ не может быть кратно $5$. Это означает, что $n$ также не кратно $5$.
Из условия $n | 4400$ и того, что $n$ не делится на $5$, следует, что $n$ является делителем числа $4400 / 5^2 = 2^4 \cdot 11 = 176$.
Делители числа $176$: $1, 2, 4, 8, 11, 16, 22, 44, 88, 176$.
Проверим для каждого из них условие $(n+5) | 2376$:
- $n=1: n+5=6$. $2376 = 6 \cdot 396$. Подходит.
- $n=2: n+5=7$. $2376$ не делится на $7$. Не подходит.
- $n=4: n+5=9$. $2376 = 9 \cdot 264$. Подходит.
- $n=8: n+5=13$. $2376$ не делится на $13$. Не подходит.
- $n=11: n+5=16$. $2376 = 8 \cdot 297$, $297$ нечетное, значит $2376$ не делится на $16$. Не подходит.
- $n=16: n+5=21=3 \cdot 7$. $2376$ не делится на $7$. Не подходит.
- $n=22: n+5=27$. $2376 = 27 \cdot 88$. Подходит.
- $n=44: n+5=49=7^2$. $2376$ не делится на $7$. Не подходит.
- $n=88: n+5=93=3 \cdot 31$. $2376$ не делится на $31$. Не подходит.
- $n=176: n+5=181$. $181$ — простое число, $2376$ на него не делится. Не подходит.
Искомые значения $n$: $1, 4, 22$.
Сумма этих чисел равна: $1 + 4 + 22 = 27$.
Ответ: 27

г) По условию, $n | 4312$ и $(n+7) | 4752$.
Разложим числа на простые множители:
$4312 = 8 \cdot 539 = 8 \cdot 7^2 \cdot 11 = 2^3 \cdot 7^2 \cdot 11$.
$4752 = 2 \cdot 2376 = 2 \cdot (2^3 \cdot 3^3 \cdot 11) = 2^4 \cdot 3^3 \cdot 11$.
Число $4752$ не делится на $7$, значит $n+7$ не может быть кратно $7$. Это означает, что $n$ также не кратно $7$.
Из условия $n | 4312$ и того, что $n$ не делится на $7$, следует, что $n$ является делителем числа $4312 / 7^2 = 2^3 \cdot 11 = 88$.
Делители числа $88$: $1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88$.
Проверим для каждого из них условие $(n+7) | 4752$:
- $n=1: n+7=8$. $4752 = 8 \cdot 594$. Подходит.
- $n=2: n+7=9$. $4752 = 9 \cdot 528$. Подходит.
- $n=4: n+7=11$. $4752 = 11 \cdot 432$. Подходит.
- $n=8: n+7=15=3 \cdot 5$. $4752$ не делится на $5$. Не подходит.
- $n=11: n+7=18$. $4752 = 18 \cdot 264$. Подходит.
- $n=22: n+7=29$. $4752$ не делится на $29$. Не подходит.
- $n=44: n+7=51=3 \cdot 17$. $4752$ не делится на $17$. Не подходит.
- $n=88: n+7=95=5 \cdot 19$. $4752$ не делится на $5$. Не подходит.
Искомые значения $n$: $1, 2, 4, 11$.
Сумма этих чисел равна: $1 + 2 + 4 + 11 = 18$.
Ответ: 18