Страница 387 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

204 a) $3 \cos 2x + 4 + 11 \sin x = 0$;

б) $1 - 8 \cos x = 6 \cos 2x$.

а)

Дано тригонометрическое уравнение:

$3 \cos 2x + 4 + 11 \sin x = 0$

Для решения этого уравнения необходимо привести все тригонометрические функции к одному аргументу. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$. Выбираем именно эту формулу, чтобы всё уравнение зависело только от $\sin x$.

Подставим формулу в исходное уравнение:

$3(1 - 2 \sin^2 x) + 4 + 11 \sin x = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3 - 6 \sin^2 x + 4 + 11 \sin x = 0$

$-6 \sin^2 x + 11 \sin x + 7 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы коэффициент при старшей степени был положительным:

$6 \sin^2 x - 11 \sin x - 7 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Учитывая, что область значений синуса $[-1, 1]$, должно выполняться условие $|t| \le 1$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$6t^2 - 11t - 7 = 0$

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-7) = 121 + 168 = 289$

Найдем корни уравнения:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$t_1 = \frac{11 + \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{11 + 17}{12} = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}$

$t_2 = \frac{11 - \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{11 - 17}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$

Теперь вернемся к замене $t = \sin x$.

1. $t_1 = \frac{7}{3}$. Уравнение $\sin x = \frac{7}{3}$ не имеет решений, так как $\frac{7}{3} > 1$, а значения синуса не могут превышать 1.

2. $t_2 = -\frac{1}{2}$. Уравнение $\sin x = -\frac{1}{2}$ имеет решения.

Общая формула для решения этого уравнения: $x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$, то:

$x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано тригонометрическое уравнение:

$1 - 8 \cos x = 6 \cos 2x$

Приведем все функции к одному аргументу $x$. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$, так как в уравнении уже есть $\cos x$.

Подставим формулу в уравнение:

$1 - 8 \cos x = 6(2 \cos^2 x - 1)$

Раскроем скобки:

$1 - 8 \cos x = 12 \cos^2 x - 6$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$0 = 12 \cos^2 x + 8 \cos x - 6 - 1$

$12 \cos^2 x + 8 \cos x - 7 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$. Учитывая, что область значений косинуса $[-1, 1]$, должно выполняться условие $|t| \le 1$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$12t^2 + 8t - 7 = 0$

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 8^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-7) = 64 + 336 = 400$

Найдем корни уравнения:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$t_1 = \frac{-8 + \sqrt{400}}{2 \cdot 12} = \frac{-8 + 20}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-8 - \sqrt{400}}{2 \cdot 12} = \frac{-8 - 20}{24} = \frac{-28}{24} = -\frac{7}{6}$

Теперь вернемся к замене $t = \cos x$.

1. $t_1 = \frac{1}{2}$. Уравнение $\cos x = \frac{1}{2}$ имеет решения. Это частный случай.

Общая формула для решения: $x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, то:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. $t_2 = -\frac{7}{6}$. Уравнение $\cos x = -\frac{7}{6}$ не имеет решений, так как $-\frac{7}{6} < -1$, а значения косинуса не могут быть меньше -1.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

205 a) $3 \sin^2 x + \cos 2x - 1 = 0$. В ответе укажите число корней уравнения, принадлежащих отрезку $[0; 2\pi]$.

б) $5 \sin x + \cos 2x = 1$. В ответе укажите число корней уравнения, принадлежащих отрезку $[0; 3\pi]$.

в) $\cos \frac{x}{3} = 2 \cos \frac{x}{6} - 1$. В ответе укажите число корней уравнения, принадлежащих отрезку $[0; 4\pi]$.

г) $1 - \sin \frac{x}{6} = \cos \frac{x}{3}$. В ответе укажите число корней уравнения, принадлежащих отрезку $[0; 6\pi]$.

а) Решим уравнение $3 \sin^2 x + \cos 2x - 1 = 0$.
Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$, чтобы привести уравнение к одной тригонометрической функции:
$3 \sin^2 x + (1 - 2 \sin^2 x) - 1 = 0$
$3 \sin^2 x + 1 - 2 \sin^2 x - 1 = 0$
$\sin^2 x = 0$
$\sin x = 0$
Общее решение этого уравнения: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi]$. Для этого решим неравенство:
$0 \le \pi k \le 2\pi$
$0 \le k \le 2$
Так как $k$ — целое число, возможные значения для $k$: 0, 1, 2.
При $k=0$, $x = 0$.
При $k=1$, $x = \pi$.
При $k=2$, $x = 2\pi$.
Все три корня ($0, \pi, 2\pi$) принадлежат отрезку $[0; 2\pi]$.

Ответ: 3

б) Решим уравнение $5 \sin x + \cos 2x = 1$.
Заменим $\cos 2x$ по формуле $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$:
$5 \sin x + (1 - 2 \sin^2 x) = 1$
$5 \sin x - 2 \sin^2 x = 0$
$\sin x (5 - 2 \sin x) = 0$
Это уравнение распадается на два:
1) $\sin x = 0$
2) $5 - 2 \sin x = 0 \implies \sin x = \frac{5}{2}$. Второе уравнение не имеет решений, так как $|\sin x| \le 1$.
Решаем уравнение $\sin x = 0$. Общее решение: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Найдем корни на отрезке $[0; 3\pi]$:
$0 \le \pi k \le 3\pi$
$0 \le k \le 3$
Целочисленные значения $k$: 0, 1, 2, 3.
При $k=0$, $x = 0$.
При $k=1$, $x = \pi$.
При $k=2$, $x = 2\pi$.
При $k=3$, $x = 3\pi$.
Всего на заданном отрезке 4 корня.

Ответ: 4

в) Решим уравнение $\cos \frac{x}{3} = 2 \cos^2 \frac{x}{6} - 1$.
Заметим, что правая часть уравнения является формулой косинуса двойного угла для аргумента $\frac{x}{6}$: $2 \cos^2 \frac{x}{6} - 1 = \cos(2 \cdot \frac{x}{6}) = \cos \frac{x}{3}$.
Таким образом, исходное уравнение представляет собой тождество $\cos \frac{x}{3} = \cos \frac{x}{3}$, верное для всех действительных значений $x$. В таком случае число корней на любом отрезке бесконечно.
Вероятно, в условии задачи имеется опечатка. Наиболее вероятная опечатка — отсутствие квадрата в правой части. Решим исправленное уравнение: $\cos \frac{x}{3} = 2 \cos \frac{x}{6} - 1$.
Используем формулу $\cos \frac{x}{3} = \cos(2 \cdot \frac{x}{6}) = 2\cos^2\frac{x}{6} - 1$:
$2\cos^2\frac{x}{6} - 1 = 2 \cos \frac{x}{6} - 1$
$2\cos^2\frac{x}{6} - 2\cos\frac{x}{6} = 0$
$2\cos\frac{x}{6} \left(\cos\frac{x}{6} - 1\right) = 0$
Получаем два случая:
1) $\cos\frac{x}{6} = 0 \implies \frac{x}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = 3\pi + 6\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos\frac{x}{6} = 1 \implies \frac{x}{6} = 2\pi n \implies x = 12\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Отберем корни, принадлежащие отрезку $[0; 4\pi]$.
Для первой серии корней: $0 \le 3\pi + 6\pi k \le 4\pi \implies 0 \le 3 + 6k \le 4 \implies -3 \le 6k \le 1 \implies -0.5 \le k \le \frac{1}{6}$. Единственное целое $k=0$, откуда $x = 3\pi$.
Для второй серии корней: $0 \le 12\pi n \le 4\pi \implies 0 \le 12n \le 4 \implies 0 \le n \le \frac{1}{3}$. Единственное целое $n=0$, откуда $x = 0$.
Таким образом, на отрезке $[0; 4\pi]$ лежат два корня: $0$ и $3\pi$.

Ответ: 2

г) Решим уравнение $1 - \sin \frac{x}{6} = \cos \frac{x}{3}$.
Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$. Пусть $\alpha = \frac{x}{6}$, тогда $2\alpha = \frac{x}{3}$.
$1 - \sin \frac{x}{6} = 1 - 2\sin^2 \frac{x}{6}$
$2\sin^2 \frac{x}{6} - \sin \frac{x}{6} = 0$
$\sin \frac{x}{6} \left(2\sin \frac{x}{6} - 1\right) = 0$
Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
1) $\sin \frac{x}{6} = 0 \implies \frac{x}{6} = \pi k \implies x = 6\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $2\sin \frac{x}{6} - 1 = 0 \implies \sin \frac{x}{6} = \frac{1}{2} \implies \frac{x}{6} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \implies x = (-1)^n \pi + 6\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Найдем корни на отрезке $[0; 6\pi]$.
Для первой серии $x = 6\pi k$:
$0 \le 6\pi k \le 6\pi \implies 0 \le k \le 1$. Целые $k=0, 1$. Получаем корни $x=0$ и $x=6\pi$.
Для второй серии $x = (-1)^n \pi + 6\pi n$:
При $n=0$: $x = (-1)^0 \pi + 0 = \pi$. Корень $x=\pi$ принадлежит отрезку $[0; 6\pi]$.
При $n=1$: $x = (-1)^1 \pi + 6\pi(1) = -\pi + 6\pi = 5\pi$. Корень $x=5\pi$ принадлежит отрезку $[0; 6\pi]$.
При $n \ge 2$ или $n < 0$ корни выходят за пределы отрезка.
Всего получаем четыре различных корня: $0, \pi, 5\pi, 6\pi$.

Ответ: 4

206 a) $2 \cos 4x - 4 \sin 2x = -1;$

Б) $3 \cos 4x - 5 \sin 2x = -1;$

В) $8 \cos 6x - 12 \sin 3x = 3;$

Г) $5 \cos 4x - 6 \sin 2x = -2.$

а) $2 \cos 4x - 4 \sin 2x = -1$

В данном уравнении используется аргумент $4x$ в косинусе и $2x$ в синусе. Мы можем привести их к одному аргументу, используя формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha)$. Применив ее для $\cos(4x)$, где $\alpha = 2x$, получим $\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2(1 - 2\sin^2(2x)) - 4 \sin 2x = -1$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$2 - 4\sin^2(2x) - 4 \sin 2x = -1$

Перенесем все слагаемые в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\sin(2x)$:

$4\sin^2(2x) + 4 \sin 2x - 3 = 0$

Для удобства решения сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin(2x)$. Поскольку область значений функции синус от $-1$ до $1$, то $-1 \le t \le 1$.

$4t^2 + 4t - 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, используя формулу для корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 \pm 8}{8}$

$t_1 = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-4 - 8}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $-1 \le t \le 1$.

Корень $t_1 = \frac{1}{2}$ подходит, так как $-1 \le \frac{1}{2} \le 1$.

Корень $t_2 = -\frac{3}{2} = -1.5$ не подходит, так как он меньше $-1$.

Следовательно, возвращаемся к замене с единственным подходящим корнем:

$\sin(2x) = \frac{1}{2}$

Решением этого тригонометрического уравнения является серия корней:

$2x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$2x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Разделив обе части на 2, найдем $x$:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) $3 \cos 4x - 5 \sin 2x = -1$

Используем ту же формулу косинуса двойного угла: $\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x)$.

Подставим ее в уравнение:

$3(1 - 2\sin^2(2x)) - 5 \sin 2x = -1$

Раскроем скобки и упростим:

$3 - 6\sin^2(2x) - 5 \sin 2x = -1$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$6\sin^2(2x) + 5 \sin 2x - 4 = 0$

Сделаем замену $t = \sin(2x)$, где $-1 \le t \le 1$.

$6t^2 + 5t - 4 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-4) = 25 + 96 = 121$

Найдем корни:

$t_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 \pm 11}{12}$

$t_1 = \frac{-5 + 11}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-5 - 11}{12} = \frac{-16}{12} = -\frac{4}{3}$

Проверим корни на принадлежность отрезку $[-1, 1]$.

$t_1 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию.

$t_2 = -\frac{4}{3} \approx -1.33$ не удовлетворяет условию, так как $-\frac{4}{3} < -1$.

Выполним обратную замену:

$\sin(2x) = \frac{1}{2}$

Это уравнение было решено в предыдущем пункте.

$2x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

в) $8 \cos 6x - 12 \sin 3x = 3$

Здесь аргументы $6x$ и $3x$. Применим формулу косинуса двойного угла для $\cos(6x) = \cos(2 \cdot 3x) = 1 - 2\sin^2(3x)$.

Подставим в уравнение:

$8(1 - 2\sin^2(3x)) - 12 \sin 3x = 3$

$8 - 16\sin^2(3x) - 12 \sin 3x - 3 = 0$

$16\sin^2(3x) + 12 \sin 3x - 5 = 0$

Сделаем замену $t = \sin(3x)$, где $-1 \le t \le 1$.

$16t^2 + 12t - 5 = 0$

Вычислим дискриминант:

$D = 12^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-5) = 144 + 320 = 464$

Корни уравнения:

$t_{1,2} = \frac{-12 \pm \sqrt{464}}{2 \cdot 16} = \frac{-12 \pm \sqrt{16 \cdot 29}}{32} = \frac{-12 \pm 4\sqrt{29}}{32} = \frac{-3 \pm \sqrt{29}}{8}$

$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{29}}{8}$

$t_2 = \frac{-3 - \sqrt{29}}{8}$

Оценим значения корней. Так как $5 < \sqrt{29} < 6$:

$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{29}}{8}$: $ \frac{-3+5}{8} < t_1 < \frac{-3+6}{8} \Rightarrow \frac{2}{8} < t_1 < \frac{3}{8} \Rightarrow \frac{1}{4} < t_1 < \frac{3}{8}$. Этот корень принадлежит отрезку $[-1, 1]$.

$t_2 = \frac{-3 - \sqrt{29}}{8}$: $ \frac{-3-6}{8} < t_2 < \frac{-3-5}{8} \Rightarrow -\frac{9}{8} < t_2 < -1$. Этот корень меньше $-1$, поэтому он является посторонним.

Возвращаемся к замене с единственным подходящим корнем:

$\sin(3x) = \frac{\sqrt{29}-3}{8}$

Решение этого уравнения:

$3x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{29}-3}{8}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{(-1)^k}{3} \arcsin\left(\frac{\sqrt{29}-3}{8}\right) + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{(-1)^k}{3} \arcsin\left(\frac{\sqrt{29}-3}{8}\right) + \frac{\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$.

г) $5 \cos 4x - 6 \sin 2x = -2$

Применим формулу $\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x)$.

$5(1 - 2\sin^2(2x)) - 6 \sin 2x = -2$

$5 - 10\sin^2(2x) - 6 \sin 2x + 2 = 0$

$10\sin^2(2x) + 6 \sin 2x - 7 = 0$

Сделаем замену $t = \sin(2x)$, $-1 \le t \le 1$.

$10t^2 + 6t - 7 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = 6^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-7) = 36 + 280 = 316$

Найдем корни:

$t_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{316}}{2 \cdot 10} = \frac{-6 \pm \sqrt{4 \cdot 79}}{20} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{79}}{20} = \frac{-3 \pm \sqrt{79}}{10}$

$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{79}}{10}$

$t_2 = \frac{-3 - \sqrt{79}}{10}$

Оценим значения корней. Так как $8 < \sqrt{79} < 9$:

$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{79}}{10}$: $\frac{-3+8}{10} < t_1 < \frac{-3+9}{10} \Rightarrow \frac{5}{10} < t_1 < \frac{6}{10} \Rightarrow 0.5 < t_1 < 0.6$. Этот корень подходит.

$t_2 = \frac{-3 - \sqrt{79}}{10}$: $\frac{-3-9}{10} < t_2 < \frac{-3-8}{10} \Rightarrow -\frac{12}{10} < t_2 < -\frac{11}{10}$. Этот корень не подходит, так как он меньше $-1$.

Выполняем обратную замену:

$\sin(2x) = \frac{\sqrt{79}-3}{10}$

Решение:

$2x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{79}-3}{10}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{(-1)^k}{2} \arcsin\left(\frac{\sqrt{79}-3}{10}\right) + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{(-1)^k}{2} \arcsin\left(\frac{\sqrt{79}-3}{10}\right) + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

207 a) $cos^2 6x - sin^2 3x - 1 = 0;$

б) $cos^2 4x + sin^2 2x - 1 = 0;$

в) $6 sin^2 x + cos 2x - 3 = 0;$

г) $cos 7x + 2 cos \frac{7x}{2} = \frac{1}{2};$

д) $sin^3 x - cos^3 x + sin x - cos x = 0.$

а) $cos^2 6x - sin^2 3x - 1 = 0$
Для решения этого уравнения воспользуемся формулой понижения степени для синуса: $sin^2 \alpha = \frac{1 - cos(2\alpha)}{2}$. Применим ее для $sin^2 3x$:
$sin^2 3x = \frac{1 - cos(2 \cdot 3x)}{2} = \frac{1 - cos(6x)}{2}$
Подставим полученное выражение в исходное уравнение:
$cos^2 6x - \frac{1 - cos(6x)}{2} - 1 = 0$
Чтобы упростить уравнение, введем замену переменной. Пусть $y = cos(6x)$. Тогда уравнение примет вид:
$y^2 - \frac{1 - y}{2} - 1 = 0$
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
$2y^2 - (1 - y) - 2 = 0$
$2y^2 - 1 + y - 2 = 0$
$2y^2 + y - 3 = 0$
Мы получили квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$
$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 5}{4} = 1$
$y_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 5}{4} = -\frac{3}{2}$
Теперь вернемся к исходной переменной $x$, решив два уравнения:
1) $cos(6x) = 1$
Это частный случай. Решение:
$6x = 2\pi k, \text{ где } k \in Z$
$x = \frac{2\pi k}{6} = \frac{\pi k}{3}, k \in Z$
2) $cos(6x) = -\frac{3}{2}$
Это уравнение не имеет решений, так как значение косинуса не может быть меньше -1.
Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}, k \in Z$.

б) $cos^2 4x + sin^2 2x - 1 = 0$
Используем формулу понижения степени $sin^2 \alpha = \frac{1 - cos(2\alpha)}{2}$ для $sin^2 2x$:
$sin^2 2x = \frac{1 - cos(2 \cdot 2x)}{2} = \frac{1 - cos(4x)}{2}$
Подставим в исходное уравнение:
$cos^2 4x + \frac{1 - cos(4x)}{2} - 1 = 0$
Введем замену $y = cos(4x)$:
$y^2 + \frac{1 - y}{2} - 1 = 0$
Умножим на 2:
$2y^2 + 1 - y - 2 = 0$
$2y^2 - y - 1 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.
$y_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1$
$y_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$
Вернемся к замене $y = cos(4x)$:
1) $cos(4x) = 1$
$4x = 2\pi k, k \in Z$
$x = \frac{2\pi k}{4} = \frac{\pi k}{2}, k \in Z$
2) $cos(4x) = -\frac{1}{2}$
$4x = \pm arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n, n \in Z$
$4x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z$
$x = \pm \frac{2\pi}{12} + \frac{2\pi n}{4} = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$
Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}, k \in Z$; $x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$.

в) $6 sin^2 x + cos 2x - 3 = 0$
Приведем все функции к одному аргументу $x$. Для этого используем формулу косинуса двойного угла: $cos(2x) = 1 - 2sin^2 x$.
Подставим это выражение в уравнение:
$6 sin^2 x + (1 - 2sin^2 x) - 3 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$4 sin^2 x - 2 = 0$
$4 sin^2 x = 2$
$sin^2 x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$sin x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$
Это соответствует углам, у которых концы радиус-векторов лежат в серединах координатных четвертей. Объединенное решение для этих серий корней можно записать одной формулой:
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$.

г) $cos 7x + 2 cos \frac{7x}{2} = \frac{1}{2}$
Заметим, что аргумент $7x$ в два раза больше аргумента $\frac{7x}{2}$. Применим формулу косинуса двойного угла $cos(2\alpha) = 2cos^2\alpha - 1$, где $\alpha = \frac{7x}{2}$.
$(2cos^2 \frac{7x}{2} - 1) + 2 cos \frac{7x}{2} = \frac{1}{2}$
Сделаем замену $y = cos \frac{7x}{2}$:
$2y^2 - 1 + 2y = \frac{1}{2}$
$2y^2 + 2y - \frac{3}{2} = 0$
Умножим уравнение на 2:
$4y^2 + 4y - 3 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$.
$y_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
$y_2 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$
Вернемся к замене $y = cos \frac{7x}{2}$:
1) $cos \frac{7x}{2} = \frac{1}{2}$
$\frac{7x}{2} = \pm arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k, k \in Z$
$\frac{7x}{2} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z$
$x = \frac{2}{7} (\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k) = \pm \frac{2\pi}{21} + \frac{4\pi k}{7}, k \in Z$
2) $cos \frac{7x}{2} = -\frac{3}{2}$
Уравнение не имеет решений, так как область значений косинуса $[-1, 1]$.
Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{21} + \frac{4\pi k}{7}, k \in Z$.

д) $sin^3 x - cos^3 x + sin x - cos x = 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(sin^3 x - cos^3 x) + (sin x - cos x) = 0$
Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ к первой скобке:
$(sin x - cos x)(sin^2 x + sin x cos x + cos^2 x) + (sin x - cos x) = 0$
Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2 x + cos^2 x = 1$:
$(sin x - cos x)(1 + sin x cos x) + (sin x - cos x) = 0$
Вынесем общий множитель $(sin x - cos x)$ за скобки:
$(sin x - cos x)((1 + sin x cos x) + 1) = 0$
$(sin x - cos x)(2 + sin x cos x) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
1) $sin x - cos x = 0 \implies sin x = cos x$
Разделим обе части на $cos x$. Это возможно, так как если $cos x = 0$, то $sin x = \pm 1$, и равенство не выполняется.
$tan x = 1$
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$
2) $2 + sin x cos x = 0 \implies sin x cos x = -2$
Используем формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sin x cos x$, откуда $sin x cos x = \frac{1}{2} sin(2x)$.
$\frac{1}{2} sin(2x) = -2 \implies sin(2x) = -4$
Это уравнение не имеет решений, так как область значений синуса $[-1, 1]$.
Таким образом, единственной серией решений является результат первого случая.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$.

Задачи на проценты

208 За ремонт холодильника заплатили 600 р., из них $40\%$ заплатили за работу, остальное — за запасные части. Сколько стоили запасные части?

Решение:

Общая стоимость ремонта холодильника составляет 600 рублей. Эту сумму мы принимаем за 100%.

Известно, что 40% от этой суммы было заплачено за работу, а остальное — за запасные части. Требуется найти стоимость запасных частей.

Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Найти стоимость работы и вычесть ее из общей суммы.

1. Сначала определим стоимость работы в рублях. Для этого вычислим 40% от 600 рублей. Чтобы найти процент от числа, можно представить процент в виде десятичной дроби и умножить на число:

$40\% = \frac{40}{100} = 0.4$

Стоимость работы = $600 \times 0.4 = 240$ рублей.

2. Теперь, зная общую стоимость и стоимость работы, можем найти стоимость запасных частей, вычтя стоимость работы из общей суммы:

Стоимость запасных частей = $600 - 240 = 360$ рублей.

Способ 2: Найти процентную долю стоимости запасных частей.

1. Вся стоимость ремонта составляет 100%. Если 40% от этой суммы ушло на работу, то на запасные части приходится оставшаяся процентная доля:

Процент на запасные части = $100\% - 40\% = 60\%$.

2. Теперь найдем, сколько составляют 60% от общей суммы в 600 рублей:

$60\% = \frac{60}{100} = 0.6$

Стоимость запасных частей = $600 \times 0.6 = 360$ рублей.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 360 рублей.

209 a) 250 г соли растворили в 750 г воды. Какова процентная концентрация раствора?

б) Из 225 кг руды получается 34,2 кг меди. Каково процентное содержание меди в руде?

в) Из 40 т руды выплавили 30 т металла. Сколько процентов примесей в металле?

а) Процентная концентрация раствора — это отношение массы растворенного вещества (соли) к общей массе раствора, выраженное в процентах.
1. Сначала найдем общую массу раствора, сложив массу соли и массу воды:
$m_{раствора} = m_{соли} + m_{воды} = 250 \text{ г} + 750 \text{ г} = 1000 \text{ г}$
2. Теперь рассчитаем процентную концентрацию соли в растворе. Для этого массу соли разделим на общую массу раствора и умножим на 100%.
$\text{Концентрация} = \frac{m_{соли}}{m_{раствора}} \times 100\%$
$\text{Концентрация} = \frac{250 \text{ г}}{1000 \text{ г}} \times 100\% = 0,25 \times 100\% = 25\%$
Ответ: 25%.

б) Процентное содержание меди в руде — это отношение массы меди к общей массе руды, выраженное в процентах.
1. Общая масса руды составляет 225 кг. Это принимается за 100%.
2. Масса меди в этой руде составляет 34,2 кг.
3. Чтобы найти процентное содержание, нужно массу меди разделить на массу руды и умножить на 100%.
$\text{Содержание меди} = \frac{m_{меди}}{m_{руды}} \times 100\%$
$\text{Содержание меди} = \frac{34,2 \text{ кг}}{225 \text{ кг}} \times 100\% = 0,152 \times 100\% = 15,2\%$
Ответ: 15,2%.

в) В этой задаче, вероятнее всего, требуется найти процентное содержание примесей в исходной руде. Примеси — это та часть руды, которая не является чистым металлом.
1. Сначала найдем массу примесей. Для этого из общей массы руды вычтем массу выплавленного металла:
$m_{примесей} = m_{руды} - m_{металла} = 40 \text{ т} - 30 \text{ т} = 10 \text{ т}$
2. Теперь найдем, какой процент от общей массы руды (40 т) составляют примеси (10 т).
$\text{Содержание примесей} = \frac{m_{примесей}}{m_{руды}} \times 100\%$
$\text{Содержание примесей} = \frac{10 \text{ т}}{40 \text{ т}} \times 100\% = \frac{1}{4} \times 100\% = 0,25 \times 100\% = 25\%$
Ответ: 25%.

210 Масса изюма, получаемого при сушке винограда, составляет 32% массы винограда. Сколько килограммов винограда надо взять, чтобы получить 2 кг изюма?

Пусть искомая масса винограда, которую необходимо взять, равна $x$ кг. Согласно условию, масса изюма составляет 32% от массы винограда. Чтобы использовать проценты в расчетах, переведем их в десятичную дробь: $32\% = 0,32$.

Таким образом, масса изюма, полученного из $x$ кг винограда, будет равна произведению массы винограда на эту долю: $x \cdot 0,32$ кг.

По условию задачи, мы хотим получить 2 кг изюма. На основании этого можно составить уравнение:

$x \cdot 0,32 = 2$

Чтобы найти $x$ (неизвестную массу винограда), нужно разделить массу изюма на долю, которую он составляет от массы винограда:

$x = \frac{2}{0,32}$

Для удобства вычислений избавимся от десятичной дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 100:

$x = \frac{2 \cdot 100}{0,32 \cdot 100} = \frac{200}{32}$

Теперь сократим полученную дробь. Можно сокращать поэтапно на 2, а можно заметить, что оба числа делятся на 8:

$x = \frac{200 \div 8}{32 \div 8} = \frac{25}{4}$

Преобразуем обыкновенную дробь в десятичную, разделив 25 на 4:

$x = 6,25$

Следовательно, для получения 2 кг изюма необходимо взять 6,25 кг винограда.

Эту же задачу можно решить с помощью составления пропорции:

Пусть $x$ кг винограда — это 100%.

Тогда 2 кг изюма — это 32%.

Составим пропорцию:

$\frac{x}{100} = \frac{2}{32}$

Найдем $x$ из этой пропорции (правило креста):

$x = \frac{2 \cdot 100}{32} = \frac{200}{32} = 6,25$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: чтобы получить 2 кг изюма, надо взять 6,25 кг винограда.

211 На сколько процентов снижена цена, если:

a) ручка до снижения цен стоила 3 р., а после снижения — 2,7 р.;

б) товар стоил 6,9 р., а после снижения цен — 6,21 р.?

Чтобы определить, на сколько процентов была снижена цена, необходимо найти разницу между первоначальной и новой ценой (сумму снижения). Затем эту разницу нужно разделить на первоначальную цену и умножить результат на 100, чтобы выразить его в процентах.

Формула для расчета:

$Процент\ снижения = \frac{Первоначальная\ цена - Новая\ цена}{Первоначальная\ цена} \times 100\%$

а)

Первоначальная цена ручки составляла 3 р., а после снижения стала 2,7 р.
1. Находим сумму снижения цены:
$3 - 2,7 = 0,3$ р.
2. Вычисляем процент снижения:
$\frac{0,3}{3} \times 100\% = 0,1 \times 100\% = 10\%$

Ответ: на 10%.

б)

Первоначальная цена товара составляла 6,9 р., а после снижения стала 6,21 р.
1. Находим сумму снижения цены:
$6,9 - 6,21 = 0,69$ р.
2. Вычисляем процент снижения:
$\frac{0,69}{6,9} \times 100\% = 0,1 \times 100\% = 10\%$

Ответ: на 10%.

212 a) При продаже товара за 138,6 р. получено $10\%$ прибыли. Определите себестоимость товара.

б) Кооператив при продаже своей продукции за 309,6 р. имел $4\%$ убытка. Определите себестоимость этой продукции.

а) Пусть себестоимость товара составляет $x$ рублей. Это 100%. При продаже товара была получена прибыль в размере 10% от себестоимости. Таким образом, цена продажи, равная 138,6 р., составляет 100% (себестоимость) + 10% (прибыль) = 110% от себестоимости.
Чтобы найти себестоимость, составим пропорцию или уравнение. Если выразить 110% в виде десятичной дроби, получим 1,1.
Уравнение будет выглядеть так:
$x \cdot (1 + \frac{10}{100}) = 138,6$
$x \cdot 1,1 = 138,6$
$x = \frac{138,6}{1,1}$
$x = 126$
Следовательно, себестоимость товара составляет 126 рублей.
Ответ: 126 р.

б) Пусть себестоимость продукции составляет $y$ рублей. Это 100%. При продаже продукции кооператив имел убыток в размере 4% от себестоимости. Это означает, что цена продажи, равная 309,6 р., составляет 100% (себестоимость) - 4% (убыток) = 96% от себестоимости.
Чтобы найти себестоимость, выразим 96% в виде десятичной дроби — это 0,96.
Составим уравнение:
$y \cdot (1 - \frac{4}{100}) = 309,6$
$y \cdot 0,96 = 309,6$
$y = \frac{309,6}{0,96}$
$y = 322,5$
Следовательно, себестоимость продукции составляет 322,5 рубля.
Ответ: 322,5 р.

213 На заводе 35% всех рабочих — женщины, а остальные — мужчины. Мужчин на 252 человека больше, чем женщин. Определите общее число рабочих на заводе.

Для решения задачи можно использовать два подхода.

Способ 1: Составление уравнения

1. Обозначим общее число рабочих на заводе за $x$.

2. Согласно условию, женщины составляют 35% от всех рабочих. В долях это будет $0.35x$.

3. Мужчины составляют оставшуюся часть. Найдем их процентное соотношение:

$100\% - 35\% = 65\%$

Таким образом, число мужчин составляет $0.65x$.

4. Известно, что мужчин на 252 человека больше, чем женщин. Составим уравнение на основе этой информации:

Число мужчин - Число женщин = 252

$0.65x - 0.35x = 252$

5. Решим полученное уравнение:

$0.30x = 252$

$x = \frac{252}{0.30}$

$x = \frac{2520}{3}$

$x = 840$

Общее число рабочих на заводе — 840 человек.

Способ 2: Через разницу в процентах

1. Найдем, на сколько процентов мужчин больше, чем женщин:

Процент мужчин: $100\% - 35\% = 65\%$

Разница в процентах: $65\% - 35\% = 30\%$

2. Мы знаем, что эта разница в 30% соответствует 252 человекам.

3. Составим пропорцию, чтобы найти общее количество рабочих (100%):

30% — это 252 человека

100% — это $x$ человек

4. Решим пропорцию:

$x = \frac{252 \cdot 100}{30}$

$x = \frac{25200}{30}$

$x = 840$

Общее число рабочих на заводе — 840 человек.

Проверка:

Число женщин: $840 \cdot 0.35 = 294$

Число мужчин: $840 \cdot 0.65 = 546$

Разница: $546 - 294 = 252$. Условие задачи выполнено.

Ответ: 840.