Страница 391 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

234 a) Если два сплава золота сплавить в отношении 3 : 7, то получится сплав, содержащий $87\%$ золота. Если же эти сплавы сплавить в отношении 7 : 3, то получится сплав, содержащий $83\%$ золота. Найдите процентное содержание золота в первом сплаве.

б) Если два раствора соли смешать в отношении 2 : 3, то получится раствор, содержащий $6,8\%$ соли. Если же эти растворы смешать в отношении 3 : 2, то получится раствор, содержащий $6,2\%$ соли. Найдите процентное содержание соли во втором растворе.

а)

Пусть $x$ — процентное содержание золота в первом сплаве, а $y$ — процентное содержание золота во втором сплаве. Процентное содержание вещества в смеси (сплаве) равно среднему взвешенному процентных содержаний компонентов, где в качестве весов выступают их доли в смеси.

В первом случае сплавы берутся в отношении $3:7$. Общее количество частей равно $3+7=10$. Масса первого сплава составляет $3/10$ от общей массы, а второго — $7/10$. Процентное содержание золота в полученном сплаве равно 87%. Это можно записать в виде уравнения:
$\frac{3 \cdot x + 7 \cdot y}{3 + 7} = 87$
$\frac{3x + 7y}{10} = 87$
$3x + 7y = 870$ (1)

Во втором случае сплавы берутся в отношении $7:3$. Общее количество частей равно $7+3=10$. Масса первого сплава составляет $7/10$ от общей массы, а второго — $3/10$. Процентное содержание золота в полученном сплаве равно 83%. Составляем второе уравнение:
$\frac{7 \cdot x + 3 \cdot y}{7 + 3} = 83$
$\frac{7x + 3y}{10} = 83$
$7x + 3y = 830$ (2)

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} 3x + 7y = 870 \\ 7x + 3y = 830 \end{cases}$

Для нахождения $x$ (процентное содержание золота в первом сплаве) решим систему. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 7, чтобы коэффициенты при $y$ стали одинаковыми:
$3 \cdot (3x + 7y) = 3 \cdot 870 \implies 9x + 21y = 2610$
$7 \cdot (7x + 3y) = 7 \cdot 830 \implies 49x + 21y = 5810$

Теперь вычтем первое новое уравнение из второго:
$(49x + 21y) - (9x + 21y) = 5810 - 2610$
$40x = 3200$
$x = \frac{3200}{40}$
$x = 80$

Таким образом, процентное содержание золота в первом сплаве составляет 80%.
Ответ: 80%.

б)

Пусть $p$ — процентное содержание соли в первом растворе, а $q$ — процентное содержание соли во втором растворе.

В первом случае растворы смешивают в отношении $2:3$. Общее количество частей равно $2+3=5$. Концентрация соли в полученном растворе составляет 6,8%. Составляем первое уравнение:
$\frac{2 \cdot p + 3 \cdot q}{2 + 3} = 6,8$
$\frac{2p + 3q}{5} = 6,8$
$2p + 3q = 34$ (1)

Во втором случае растворы смешивают в отношении $3:2$. Общее количество частей равно $3+2=5$. Концентрация соли в полученном растворе равна 6,2%. Составляем второе уравнение:
$\frac{3 \cdot p + 2 \cdot q}{3 + 2} = 6,2$
$\frac{3p + 2q}{5} = 6,2$
$3p + 2q = 31$ (2)

Мы получили систему из двух линейных уравнений:
$\begin{cases} 2p + 3q = 34 \\ 3p + 2q = 31 \end{cases}$

Для нахождения $q$ (процентное содержание соли во втором растворе) решим систему. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при $p$ стали одинаковыми:
$3 \cdot (2p + 3q) = 3 \cdot 34 \implies 6p + 9q = 102$
$2 \cdot (3p + 2q) = 2 \cdot 31 \implies 6p + 4q = 62$

Теперь вычтем второе новое уравнение из первого:
$(6p + 9q) - (6p + 4q) = 102 - 62$
$5q = 40$
$q = \frac{40}{5}$
$q = 8$

Таким образом, процентное содержание соли во втором растворе составляет 8%.
Ответ: 8%.

235 a) Имеется два раствора кислоты в воде: $40\%$ и $60\%$. Смешав эти растворы и добавив 5 л воды, получили $20\%$-ный раствор. Если бы вместо воды добавили 5 л $80\%$-ного раствора, то получился бы $70\%$-ный раствор. Сколько литров $60\%$-ного раствора было первоначально?

б) Имеется два раствора спирта в воде. Если смешать весь первый раствор и 4 л второго, добавив 1 л воды, то получится $44\%$-ный раствор. Если смешать весь первый раствор и 2 л второго, добавив 3 л $90\%$-ного раствора, получится $64\%$-ный раствор. Каково процентное содержание спирта во втором растворе, если первый раствор содержит $60\%$ спирта?

а)

Пусть $x$ литров – объем 40%-ного раствора кислоты, а $y$ литров – объем 60%-ного раствора кислоты.

Количество чистой кислоты в первом растворе составляет $0.4x$ литров, а во втором – $0.6y$ литров.

Первый случай: смешали два раствора и добавили 5 л воды.

Общий объем нового раствора стал: $x + y + 5$ литров.

Количество кислоты в нем не изменилось (так как добавляли воду) и составляет: $0.4x + 0.6y$ литров.

Концентрация полученного раствора – 20% (или 0.2). Составим уравнение, разделив массу кислоты на общий объем раствора:
$\frac{0.4x + 0.6y}{x + y + 5} = 0.2$
$0.4x + 0.6y = 0.2(x + y + 5)$
$0.4x + 0.6y = 0.2x + 0.2y + 1$
$0.2x + 0.4y = 1$

Второй случай: смешали два раствора и добавили 5 л 80%-ного раствора.

Общий объем нового раствора также стал: $x + y + 5$ литров.

Количество кислоты в добавленных 5 литрах 80%-ного раствора: $5 \times 0.8 = 4$ литра.

Общее количество кислоты в новом растворе: $0.4x + 0.6y + 4$ литров.

Концентрация полученного раствора – 70% (или 0.7). Составим второе уравнение:
$\frac{0.4x + 0.6y + 4}{x + y + 5} = 0.7$
$0.4x + 0.6y + 4 = 0.7(x + y + 5)$
$0.4x + 0.6y + 4 = 0.7x + 0.7y + 3.5$
$4 - 3.5 = 0.7x - 0.4x + 0.7y - 0.6y$
$0.5 = 0.3x + 0.1y$

Получили систему из двух уравнений:
$ \begin{cases} 0.2x + 0.4y = 1 \\ 0.3x + 0.1y = 0.5 \end{cases} $
Умножим второе уравнение на 4, чтобы приравнять коэффициенты при $y$:
$4 \times (0.3x + 0.1y) = 4 \times 0.5 \implies 1.2x + 0.4y = 2$
Теперь вычтем первое уравнение из полученного:
$(1.2x + 0.4y) - (0.2x + 0.4y) = 2 - 1$
$1.0x = 1 \implies x = 1$
Подставим значение $x=1$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$0.2(1) + 0.4y = 1$
$0.2 + 0.4y = 1$
$0.4y = 0.8$
$y = \frac{0.8}{0.4} = 2$

Таким образом, первоначально было 1 л 40%-ного раствора и 2 л 60%-ного раствора. Вопрос задачи: сколько литров 60%-ного раствора было первоначально.
Ответ: 2 литра.

б)

Пусть $V_1$ – объем первого раствора (в литрах), а $C_2$ – концентрация спирта во втором растворе (в долях).

Концентрация спирта в первом растворе известна: 60%, или $C_1 = 0.6$.

Первый случай: смешали весь первый раствор, 4 л второго и 1 л воды.

Общий объем смеси: $V_1 + 4 + 1 = V_1 + 5$ литров.

Количество спирта в смеси:
- из первого раствора: $0.6 \times V_1$
- из второго раствора: $C_2 \times 4$
- из воды: $0$
Всего спирта: $0.6V_1 + 4C_2$ литров.

Концентрация полученного раствора – 44% (или 0.44). Составим уравнение:
$\frac{0.6V_1 + 4C_2}{V_1 + 5} = 0.44$
$0.6V_1 + 4C_2 = 0.44(V_1 + 5)$
$0.6V_1 + 4C_2 = 0.44V_1 + 2.2$
$0.16V_1 + 4C_2 = 2.2$

Второй случай: смешали весь первый раствор, 2 л второго и 3 л 90%-ного раствора.

Общий объем смеси: $V_1 + 2 + 3 = V_1 + 5$ литров.

Количество спирта в смеси:
- из первого раствора: $0.6 \times V_1$
- из второго раствора: $C_2 \times 2$
- из 90%-ного раствора: $0.9 \times 3 = 2.7$
Всего спирта: $0.6V_1 + 2C_2 + 2.7$ литров.

Концентрация полученного раствора – 64% (или 0.64). Составим второе уравнение:
$\frac{0.6V_1 + 2C_2 + 2.7}{V_1 + 5} = 0.64$
$0.6V_1 + 2C_2 + 2.7 = 0.64(V_1 + 5)$
$0.6V_1 + 2C_2 + 2.7 = 0.64V_1 + 3.2$
$2C_2 + 2.7 - 3.2 = 0.64V_1 - 0.6V_1$
$2C_2 - 0.5 = 0.04V_1$

Получили систему из двух уравнений:
$ \begin{cases} 0.16V_1 + 4C_2 = 2.2 \\ 0.04V_1 - 2C_2 = -0.5 \end{cases} $
Умножим второе уравнение на 2:
$2 \times (0.04V_1 - 2C_2) = 2 \times (-0.5) \implies 0.08V_1 - 4C_2 = -1$
Сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:
$(0.16V_1 + 4C_2) + (0.08V_1 - 4C_2) = 2.2 + (-1)$
$0.24V_1 = 1.2$
$V_1 = \frac{1.2}{0.24} = 5$
Подставим значение $V_1 = 5$ во второе исходное уравнение:
$0.04(5) - 2C_2 = -0.5$
$0.2 - 2C_2 = -0.5$
$0.2 + 0.5 = 2C_2$
$0.7 = 2C_2$
$C_2 = \frac{0.7}{2} = 0.35$

Концентрация спирта во втором растворе составляет 0.35, или 35%.
Ответ: 35%.

236 a) Имеется некоторое количество раствора соли в воде. После испарения из раствора двух литров воды концентрация соли возросла на 20%, а после разведения получившегося раствора десятью литрами воды концентрация соли стала в 2 раза меньше первоначальной. Найдите концентрацию соли в исходном растворе, считая массу 1 л воды равной 1 кг.

б) Имеется некоторое количество раствора соли в воде. После добавления в раствор трёх литров воды концентрация соли уменьшилась на 15%, а после испарения из получившегося раствора пяти литров воды концентрация соли стала в 3 раза больше первоначальной. Найдите концентрацию соли в исходном растворе, считая массу 1 л воды равной 1 кг.

Пусть $m$ – масса соли в растворе (в кг), $M$ – начальная масса раствора (в кг). Начальная (массовая) концентрация соли определяется как отношение массы соли к массе всего раствора: $C_1 = \frac{m}{M}$.

После испарения 2 литров (2 кг, так как масса 1 л воды равна 1 кг) воды масса раствора стала $M - 2$ кг, а масса соли не изменилась. Новая концентрация $C_2 = \frac{m}{M - 2}$. По условию, концентрация возросла на 20%. В задачах на растворы это, как правило, означает увеличение на 20 процентных пунктов, то есть $C_2 = C_1 + 0.20$. Получаем первое уравнение: $ \frac{m}{M - 2} = \frac{m}{M} + 0.20 $

Затем в получившийся раствор (массой $M-2$ кг) добавили 10 литров (10 кг) воды. Масса нового раствора стала $(M - 2) + 10 = M + 8$ кг. Масса соли осталась прежней. Концентрация этого раствора $C_3 = \frac{m}{M + 8}$. По условию, она стала в 2 раза меньше первоначальной: $C_3 = \frac{C_1}{2}$. Получаем второе уравнение: $ \frac{m}{M + 8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{m}{M} $

Начнем с решения второго уравнения. Так как масса соли $m$ не равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $m$: $ \frac{1}{M + 8} = \frac{1}{2M} $ Перемножим крест-накрест: $ 2M = M + 8 $ $ M = 8 $ кг.

Теперь, зная начальную массу раствора $M=8$ кг, подставим это значение в первое уравнение, чтобы найти массу соли $m$: $ \frac{m}{8 - 2} = \frac{m}{8} + 0.20 $ $ \frac{m}{6} = \frac{m}{8} + 0.2 $ $ \frac{m}{6} - \frac{m}{8} = 0.2 $ Приведем дроби к общему знаменателю 24: $ \frac{4m - 3m}{24} = 0.2 $ $ \frac{m}{24} = 0.2 $ $ m = 24 \cdot 0.2 = 4.8 $ кг.

Наконец, найдем первоначальную концентрацию $C_1$: $ C_1 = \frac{m}{M} = \frac{4.8}{8} = 0.6 $. Чтобы выразить концентрацию в процентах, умножим на 100: $0.6 \cdot 100\% = 60\%$.

Ответ: 60%.

Пусть $m$ – масса соли в растворе (в кг), $M$ – начальная масса раствора (в кг). Начальная концентрация $C_1 = \frac{m}{M}$.

После добавления в раствор 3 литров (3 кг) воды масса раствора стала $M + 3$ кг. Новая концентрация $C_2 = \frac{m}{M + 3}$. По условию, концентрация уменьшилась на 15%, то есть на 15 процентных пунктов: $C_2 = C_1 - 0.15$. Получаем первое уравнение: $ \frac{m}{M + 3} = \frac{m}{M} - 0.15 $

Затем из получившегося раствора (массой $M+3$ кг) испарили 5 литров (5 кг) воды. Масса раствора стала $(M + 3) - 5 = M - 2$ кг. Новая концентрация $C_3 = \frac{m}{M - 2}$. По условию, она стала в 3 раза больше первоначальной: $C_3 = 3 C_1$. Получаем второе уравнение: $ \frac{m}{M - 2} = 3 \cdot \frac{m}{M} $

Решим второе уравнение, предварительно сократив его на $m$ (так как $m>0$): $ \frac{1}{M - 2} = \frac{3}{M} $ $ M = 3(M - 2) $ $ M = 3M - 6 $ $ 2M = 6 $ $ M = 3 $ кг.

Подставим найденное значение $M = 3$ в первое уравнение, чтобы найти массу соли $m$: $ \frac{m}{3 + 3} = \frac{m}{3} - 0.15 $ $ \frac{m}{6} = \frac{m}{3} - 0.15 $ $ 0.15 = \frac{m}{3} - \frac{m}{6} $ Приведем дроби к общему знаменателю 6: $ 0.15 = \frac{2m - m}{6} $ $ 0.15 = \frac{m}{6} $ $ m = 6 \cdot 0.15 = 0.9 $ кг.

Найдем искомую первоначальную концентрацию $C_1$: $ C_1 = \frac{m}{M} = \frac{0.9}{3} = 0.3 $. В процентах: $0.3 \cdot 100\% = 30\%$.

Ответ: 30%.

Задачи на совместную работу

237 a) Один рабочий выполняет некоторую работу за 8 ч. Другой рабочий может выполнить ту же работу за 12 ч. Сколько часов будет затрачено, если эту работу делать совместно?

б) Одна машинистка может перепечатать рукопись за 4 ч, а другая — за 2,4 ч. За сколько часов они перепечатают рукопись при совместной работе?

а) Чтобы решить задачу на совместную работу, сначала нужно определить производительность каждого участника, то есть какую часть работы он выполняет за единицу времени (в данном случае, за 1 час). Примем всю работу за 1.

1. Производительность первого рабочего составляет $1/8$ часть работы в час.

2. Производительность второго рабочего составляет $1/12$ часть работы в час.

3. При совместной работе их производительности складываются. Найдем общую производительность:

$P_{общая} = \frac{1}{8} + \frac{1}{12}$

Приведем дроби к общему знаменателю 24:

$P_{общая} = \frac{3}{24} + \frac{2}{24} = \frac{5}{24}$

Это значит, что вместе они выполняют $5/24$ всей работы за один час.

4. Чтобы найти общее время, необходимо всю работу (1) разделить на общую производительность:

$T = \frac{1}{P_{общая}} = \frac{1}{\frac{5}{24}} = \frac{24}{5} = 4,8$ часа.

Можно перевести это в часы и минуты: $0,8$ часа = $0,8 \times 60 = 48$ минут. Таким образом, время выполнения работы составит 4 часа 48 минут.

Ответ: 4,8 часа.

б) Решим вторую задачу по тому же принципу. Вся рукопись — это 1 (единица работы).

1. Производительность первой машинистки: $1/4$ часть рукописи в час.

2. Производительность второй машинистки: $1/2,4$ часть рукописи в час. Для удобства вычислений представим $2,4$ в виде дроби: $2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$. Тогда производительность второй машинистки равна $\frac{1}{\frac{12}{5}} = \frac{5}{12}$ части рукописи в час.

3. Найдем общую производительность при совместной работе:

$P_{общая} = \frac{1}{4} + \frac{5}{12}$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$P_{общая} = \frac{3}{12} + \frac{5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

Вместе они перепечатывают $2/3$ рукописи за час.

4. Найдем общее время, разделив всю работу (1) на общую производительность:

$T = \frac{1}{P_{общая}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} = 1,5$ часа.

Это составляет 1 час и 30 минут.

Ответ: 1,5 часа.

238 a) Бассейн наполняется двумя трубами за 4 ч. Первая труба может наполнить бассейн за 5 ч. За сколько часов наполнит бассейн одна вторая труба?

б) Одна машинистка может выполнить некоторую работу за 5 ч. За сколько часов может выполнить эту работу другая машинистка, если, работая вместе, они выполнили ту же работу за 4 ч?

в) Через первый кран ванна наполнится водой за 10 мин. Если открыть два крана, то ванна наполнится за 2 мин. За сколько минут наполнится ванна, если открыть только второй кран?

а)

Задачи такого типа решаются через производительность (скорость выполнения работы). Примем весь объем бассейна за 1.

1. Найдем общую производительность двух труб, работающих вместе. Если они наполняют бассейн за 4 часа, то их производительность равна $1/4$ бассейна в час.

2. Найдем производительность первой трубы. Если она наполняет бассейн за 5 часов, ее производительность равна $1/5$ бассейна в час.

3. Чтобы найти производительность второй трубы, нужно из общей производительности вычесть производительность первой трубы:

$P_{второй} = P_{общей} - P_{первой} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$

4. Приведем дроби к общему знаменателю 20:

$\frac{5}{20} - \frac{4}{20} = \frac{1}{20}$

Таким образом, производительность второй трубы составляет $1/20$ бассейна в час.

5. Чтобы найти время, за которое вторая труба наполнит бассейн, нужно 1 (весь объем) разделить на ее производительность:

$t = \frac{1}{1/20} = 20$ часов.

Ответ: вторая труба наполнит бассейн за 20 часов.

б)

Примем всю работу за 1.

1. Производительность первой машинистки составляет $1/5$ работы в час, так как она выполняет всю работу за 5 часов.

2. Общая производительность двух машинисток, работающих вместе, составляет $1/4$ работы в час, так как они выполняют работу за 4 часа.

3. Чтобы найти производительность второй машинистки, вычтем из общей производительности производительность первой:

$P_{второй} = P_{общей} - P_{первой} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{5}{20} - \frac{4}{20} = \frac{1}{20}$

Производительность второй машинистки составляет $1/20$ работы в час.

4. Время, за которое вторая машинистка выполнит всю работу, равно:

$t = \frac{1}{1/20} = 20$ часов.

Ответ: вторая машинистка выполнит работу за 20 часов.

в)

Примем объем всей ванны за 1.

1. Производительность первого крана составляет $1/10$ ванны в минуту, так как он наполняет ванну за 10 минут.

2. Общая производительность двух кранов составляет $1/2$ ванны в минуту, так как вместе они наполняют ванну за 2 минуты.

3. Найдем производительность второго крана, вычтя из общей производительности производительность первого:

$P_{второго} = P_{общая} - P_{первого} = \frac{1}{2} - \frac{1}{10}$

4. Приведем дроби к общему знаменателю 10:

$\frac{5}{10} - \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Производительность второго крана составляет $2/5$ ванны в минуту.

5. Найдем время, за которое второй кран наполнит ванну:

$t = \frac{1}{2/5} = \frac{5}{2} = 2,5$ минуты.

Ответ: второй кран наполнит ванну за 2,5 минуты.