Номер 235, страница 391 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задачи на сплавы и смеси. Задания для повторения - номер 235, страница 391.

235 a) Имеется два раствора кислоты в воде: $40\%$ и $60\%$. Смешав эти растворы и добавив 5 л воды, получили $20\%$-ный раствор. Если бы вместо воды добавили 5 л $80\%$-ного раствора, то получился бы $70\%$-ный раствор. Сколько литров $60\%$-ного раствора было первоначально?

б) Имеется два раствора спирта в воде. Если смешать весь первый раствор и 4 л второго, добавив 1 л воды, то получится $44\%$-ный раствор. Если смешать весь первый раствор и 2 л второго, добавив 3 л $90\%$-ного раствора, получится $64\%$-ный раствор. Каково процентное содержание спирта во втором растворе, если первый раствор содержит $60\%$ спирта?

а)

Пусть $x$ литров – объем 40%-ного раствора кислоты, а $y$ литров – объем 60%-ного раствора кислоты.

Количество чистой кислоты в первом растворе составляет $0.4x$ литров, а во втором – $0.6y$ литров.

Первый случай: смешали два раствора и добавили 5 л воды.

Общий объем нового раствора стал: $x + y + 5$ литров.

Количество кислоты в нем не изменилось (так как добавляли воду) и составляет: $0.4x + 0.6y$ литров.

Концентрация полученного раствора – 20% (или 0.2). Составим уравнение, разделив массу кислоты на общий объем раствора:
$\frac{0.4x + 0.6y}{x + y + 5} = 0.2$
$0.4x + 0.6y = 0.2(x + y + 5)$
$0.4x + 0.6y = 0.2x + 0.2y + 1$
$0.2x + 0.4y = 1$

Второй случай: смешали два раствора и добавили 5 л 80%-ного раствора.

Общий объем нового раствора также стал: $x + y + 5$ литров.

Количество кислоты в добавленных 5 литрах 80%-ного раствора: $5 \times 0.8 = 4$ литра.

Общее количество кислоты в новом растворе: $0.4x + 0.6y + 4$ литров.

Концентрация полученного раствора – 70% (или 0.7). Составим второе уравнение:
$\frac{0.4x + 0.6y + 4}{x + y + 5} = 0.7$
$0.4x + 0.6y + 4 = 0.7(x + y + 5)$
$0.4x + 0.6y + 4 = 0.7x + 0.7y + 3.5$
$4 - 3.5 = 0.7x - 0.4x + 0.7y - 0.6y$
$0.5 = 0.3x + 0.1y$

Получили систему из двух уравнений:
$ \begin{cases} 0.2x + 0.4y = 1 \\ 0.3x + 0.1y = 0.5 \end{cases} $
Умножим второе уравнение на 4, чтобы приравнять коэффициенты при $y$:
$4 \times (0.3x + 0.1y) = 4 \times 0.5 \implies 1.2x + 0.4y = 2$
Теперь вычтем первое уравнение из полученного:
$(1.2x + 0.4y) - (0.2x + 0.4y) = 2 - 1$
$1.0x = 1 \implies x = 1$
Подставим значение $x=1$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$0.2(1) + 0.4y = 1$
$0.2 + 0.4y = 1$
$0.4y = 0.8$
$y = \frac{0.8}{0.4} = 2$

Таким образом, первоначально было 1 л 40%-ного раствора и 2 л 60%-ного раствора. Вопрос задачи: сколько литров 60%-ного раствора было первоначально.
Ответ: 2 литра.

б)

Пусть $V_1$ – объем первого раствора (в литрах), а $C_2$ – концентрация спирта во втором растворе (в долях).

Концентрация спирта в первом растворе известна: 60%, или $C_1 = 0.6$.

Первый случай: смешали весь первый раствор, 4 л второго и 1 л воды.

Общий объем смеси: $V_1 + 4 + 1 = V_1 + 5$ литров.

Количество спирта в смеси:
- из первого раствора: $0.6 \times V_1$
- из второго раствора: $C_2 \times 4$
- из воды: $0$
Всего спирта: $0.6V_1 + 4C_2$ литров.

Концентрация полученного раствора – 44% (или 0.44). Составим уравнение:
$\frac{0.6V_1 + 4C_2}{V_1 + 5} = 0.44$
$0.6V_1 + 4C_2 = 0.44(V_1 + 5)$
$0.6V_1 + 4C_2 = 0.44V_1 + 2.2$
$0.16V_1 + 4C_2 = 2.2$

Второй случай: смешали весь первый раствор, 2 л второго и 3 л 90%-ного раствора.

Общий объем смеси: $V_1 + 2 + 3 = V_1 + 5$ литров.

Количество спирта в смеси:
- из первого раствора: $0.6 \times V_1$
- из второго раствора: $C_2 \times 2$
- из 90%-ного раствора: $0.9 \times 3 = 2.7$
Всего спирта: $0.6V_1 + 2C_2 + 2.7$ литров.

Концентрация полученного раствора – 64% (или 0.64). Составим второе уравнение:
$\frac{0.6V_1 + 2C_2 + 2.7}{V_1 + 5} = 0.64$
$0.6V_1 + 2C_2 + 2.7 = 0.64(V_1 + 5)$
$0.6V_1 + 2C_2 + 2.7 = 0.64V_1 + 3.2$
$2C_2 + 2.7 - 3.2 = 0.64V_1 - 0.6V_1$
$2C_2 - 0.5 = 0.04V_1$

Получили систему из двух уравнений:
$ \begin{cases} 0.16V_1 + 4C_2 = 2.2 \\ 0.04V_1 - 2C_2 = -0.5 \end{cases} $
Умножим второе уравнение на 2:
$2 \times (0.04V_1 - 2C_2) = 2 \times (-0.5) \implies 0.08V_1 - 4C_2 = -1$
Сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:
$(0.16V_1 + 4C_2) + (0.08V_1 - 4C_2) = 2.2 + (-1)$
$0.24V_1 = 1.2$
$V_1 = \frac{1.2}{0.24} = 5$
Подставим значение $V_1 = 5$ во второе исходное уравнение:
$0.04(5) - 2C_2 = -0.5$
$0.2 - 2C_2 = -0.5$
$0.2 + 0.5 = 2C_2$
$0.7 = 2C_2$
$C_2 = \frac{0.7}{2} = 0.35$

Концентрация спирта во втором растворе составляет 0.35, или 35%.
Ответ: 35%.