Номер 232, страница 390 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Задачи на сплавы и смеси - номер 232, страница 390.

Условие.

232 Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Некто покупает 40 мер пшеницы, 24 ячменя и 20 овса за 15 фунтов 12 шиллингов1. Затем он производит вторую закупку тех же сортов в 26 мер пшеницы, 30 ячменя и 50 овса за 16 фунтов. Наконец, он делает третью закупку тех же сортов в 24 меры пшеницы, 120 ячменя и 100 овса за 34 фунта. Спрашивается цена меры каждого рода зерновых.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения задачи введем переменные, обозначающие цену за одну меру каждого вида зерна. Пусть:

• $x$ — цена одной меры пшеницы в шиллингах,
• $y$ — цена одной меры ячменя в шиллингах,
• $z$ — цена одной меры овса в шиллингах.

Сначала переведем все цены в единую валюту — шиллинги, зная, что 1 фунт стерлингов равен 20 шиллингам.

• Первая закупка: 15 фунтов 12 шиллингов = $15 \times 20 + 12 = 312$ шиллингов.
• Вторая закупка: 16 фунтов = $16 \times 20 = 320$ шиллингов.
• Третья закупка: 34 фунта = $34 \times 20 = 680$ шиллингов.

Теперь составим систему из трех линейных уравнений на основе данных о закупках:

$40x + 24y + 20z = 312$ (1)
$26x + 30y + 50z = 320$ (2)
$24x + 120y + 100z = 680$ (3)

Для упрощения вычислений разделим каждое уравнение на наибольший общий делитель его коэффициентов:

• Уравнение (1) разделим на 4: $10x + 6y + 5z = 78$ (I)
• Уравнение (2) разделим на 2: $13x + 15y + 25z = 160$ (II)
• Уравнение (3) разделим на 4: $6x + 30y + 25z = 170$ (III)

Теперь у нас есть более простая система. Заметим, что в уравнениях (II) и (III) коэффициент при $z$ одинаков. Вычтем уравнение (II) из уравнения (III), чтобы исключить переменную $z$:

$(6x + 30y + 25z) - (13x + 15y + 25z) = 170 - 160$

$-7x + 15y = 10$ (IV)

Теперь исключим $z$ из другой пары уравнений. Умножим уравнение (I) на 5, чтобы коэффициент при $z$ стал равен 25, как в уравнении (II):

$5 \times (10x + 6y + 5z) = 5 \times 78$

$50x + 30y + 25z = 390$ (V)

Вычтем уравнение (II) из полученного уравнения (V):

$(50x + 30y + 25z) - (13x + 15y + 25z) = 390 - 160$

$37x + 15y = 230$ (VI)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными (IV) и (VI):

$-7x + 15y = 10$
$37x + 15y = 230$

Вычтем уравнение (IV) из уравнения (VI), чтобы исключить $y$:

$(37x + 15y) - (-7x + 15y) = 230 - 10$

$44x = 220$

$x = \frac{220}{44} = 5$

Мы нашли цену пшеницы: $x = 5$ шиллингов за меру.

Подставим значение $x=5$ в уравнение (IV), чтобы найти $y$:

$-7(5) + 15y = 10$

$-35 + 15y = 10$

$15y = 45$

$y = \frac{45}{15} = 3$

Мы нашли цену ячменя: $y = 3$ шиллинга за меру.

Наконец, подставим найденные значения $x=5$ и $y=3$ в самое простое из исходных уравнений, например, в уравнение (I):

$10x + 6y + 5z = 78$

$10(5) + 6(3) + 5z = 78$

$50 + 18 + 5z = 78$

$68 + 5z = 78$

$5z = 10$

$z = \frac{10}{5} = 2$

Мы нашли цену овса: $z = 2$ шиллинга за меру.

Ответ: цена одной меры пшеницы — 5 шиллингов, цена одной меры ячменя — 3 шиллинга, цена одной меры овса — 2 шиллинга.