Номер 232, страница 390 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задачи на сплавы и смеси. Задания для повторения - номер 232, страница 390.

232 Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Некто покупает 40 мер пшеницы, 24 ячменя и 20 овса за 15 фунтов 12 шиллингов1. Затем он производит вторую закупку тех же сортов в 26 мер пшеницы, 30 ячменя и 50 овса за 16 фунтов. Наконец, он делает третью закупку тех же сортов в 24 меры пшеницы, 120 ячменя и 100 овса за 34 фунта. Спрашивается цена меры каждого рода зерновых.

Для решения задачи введем переменные, обозначающие цену за одну меру каждого вида зерна. Пусть:

• $x$ — цена одной меры пшеницы в шиллингах,
• $y$ — цена одной меры ячменя в шиллингах,
• $z$ — цена одной меры овса в шиллингах.

Сначала переведем все цены в единую валюту — шиллинги, зная, что 1 фунт стерлингов равен 20 шиллингам.

• Первая закупка: 15 фунтов 12 шиллингов = $15 \times 20 + 12 = 312$ шиллингов.
• Вторая закупка: 16 фунтов = $16 \times 20 = 320$ шиллингов.
• Третья закупка: 34 фунта = $34 \times 20 = 680$ шиллингов.

Теперь составим систему из трех линейных уравнений на основе данных о закупках:

$40x + 24y + 20z = 312$ (1)
$26x + 30y + 50z = 320$ (2)
$24x + 120y + 100z = 680$ (3)

Для упрощения вычислений разделим каждое уравнение на наибольший общий делитель его коэффициентов:

• Уравнение (1) разделим на 4: $10x + 6y + 5z = 78$ (I)
• Уравнение (2) разделим на 2: $13x + 15y + 25z = 160$ (II)
• Уравнение (3) разделим на 4: $6x + 30y + 25z = 170$ (III)

Теперь у нас есть более простая система. Заметим, что в уравнениях (II) и (III) коэффициент при $z$ одинаков. Вычтем уравнение (II) из уравнения (III), чтобы исключить переменную $z$:

$(6x + 30y + 25z) - (13x + 15y + 25z) = 170 - 160$

$-7x + 15y = 10$ (IV)

Теперь исключим $z$ из другой пары уравнений. Умножим уравнение (I) на 5, чтобы коэффициент при $z$ стал равен 25, как в уравнении (II):

$5 \times (10x + 6y + 5z) = 5 \times 78$

$50x + 30y + 25z = 390$ (V)

Вычтем уравнение (II) из полученного уравнения (V):

$(50x + 30y + 25z) - (13x + 15y + 25z) = 390 - 160$

$37x + 15y = 230$ (VI)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными (IV) и (VI):

$-7x + 15y = 10$
$37x + 15y = 230$

Вычтем уравнение (IV) из уравнения (VI), чтобы исключить $y$:

$(37x + 15y) - (-7x + 15y) = 230 - 10$

$44x = 220$

$x = \frac{220}{44} = 5$

Мы нашли цену пшеницы: $x = 5$ шиллингов за меру.

Подставим значение $x=5$ в уравнение (IV), чтобы найти $y$:

$-7(5) + 15y = 10$

$-35 + 15y = 10$

$15y = 45$

$y = \frac{45}{15} = 3$

Мы нашли цену ячменя: $y = 3$ шиллинга за меру.

Наконец, подставим найденные значения $x=5$ и $y=3$ в самое простое из исходных уравнений, например, в уравнение (I):

$10x + 6y + 5z = 78$

$10(5) + 6(3) + 5z = 78$

$50 + 18 + 5z = 78$

$68 + 5z = 78$

$5z = 10$

$z = \frac{10}{5} = 2$

Мы нашли цену овса: $z = 2$ шиллинга за меру.

Ответ: цена одной меры пшеницы — 5 шиллингов, цена одной меры ячменя — 3 шиллинга, цена одной меры овса — 2 шиллинга.