Номер 236, страница 391 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задачи на сплавы и смеси. Задания для повторения - номер 236, страница 391.

236 a) Имеется некоторое количество раствора соли в воде. После испарения из раствора двух литров воды концентрация соли возросла на 20%, а после разведения получившегося раствора десятью литрами воды концентрация соли стала в 2 раза меньше первоначальной. Найдите концентрацию соли в исходном растворе, считая массу 1 л воды равной 1 кг.

б) Имеется некоторое количество раствора соли в воде. После добавления в раствор трёх литров воды концентрация соли уменьшилась на 15%, а после испарения из получившегося раствора пяти литров воды концентрация соли стала в 3 раза больше первоначальной. Найдите концентрацию соли в исходном растворе, считая массу 1 л воды равной 1 кг.

а)

Пусть $m$ – масса соли в растворе (в кг), $M$ – начальная масса раствора (в кг). Начальная (массовая) концентрация соли определяется как отношение массы соли к массе всего раствора: $C_1 = \frac{m}{M}$.

После испарения 2 литров (2 кг, так как масса 1 л воды равна 1 кг) воды масса раствора стала $M - 2$ кг, а масса соли не изменилась. Новая концентрация $C_2 = \frac{m}{M - 2}$. По условию, концентрация возросла на 20%. В задачах на растворы это, как правило, означает увеличение на 20 процентных пунктов, то есть $C_2 = C_1 + 0.20$. Получаем первое уравнение: $ \frac{m}{M - 2} = \frac{m}{M} + 0.20 $

Затем в получившийся раствор (массой $M-2$ кг) добавили 10 литров (10 кг) воды. Масса нового раствора стала $(M - 2) + 10 = M + 8$ кг. Масса соли осталась прежней. Концентрация этого раствора $C_3 = \frac{m}{M + 8}$. По условию, она стала в 2 раза меньше первоначальной: $C_3 = \frac{C_1}{2}$. Получаем второе уравнение: $ \frac{m}{M + 8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{m}{M} $

Начнем с решения второго уравнения. Так как масса соли $m$ не равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $m$: $ \frac{1}{M + 8} = \frac{1}{2M} $ Перемножим крест-накрест: $ 2M = M + 8 $ $ M = 8 $ кг.

Теперь, зная начальную массу раствора $M=8$ кг, подставим это значение в первое уравнение, чтобы найти массу соли $m$: $ \frac{m}{8 - 2} = \frac{m}{8} + 0.20 $ $ \frac{m}{6} = \frac{m}{8} + 0.2 $ $ \frac{m}{6} - \frac{m}{8} = 0.2 $ Приведем дроби к общему знаменателю 24: $ \frac{4m - 3m}{24} = 0.2 $ $ \frac{m}{24} = 0.2 $ $ m = 24 \cdot 0.2 = 4.8 $ кг.

Наконец, найдем первоначальную концентрацию $C_1$: $ C_1 = \frac{m}{M} = \frac{4.8}{8} = 0.6 $. Чтобы выразить концентрацию в процентах, умножим на 100: $0.6 \cdot 100\% = 60\%$.

Ответ: 60%.

б)

Пусть $m$ – масса соли в растворе (в кг), $M$ – начальная масса раствора (в кг). Начальная концентрация $C_1 = \frac{m}{M}$.

После добавления в раствор 3 литров (3 кг) воды масса раствора стала $M + 3$ кг. Новая концентрация $C_2 = \frac{m}{M + 3}$. По условию, концентрация уменьшилась на 15%, то есть на 15 процентных пунктов: $C_2 = C_1 - 0.15$. Получаем первое уравнение: $ \frac{m}{M + 3} = \frac{m}{M} - 0.15 $

Затем из получившегося раствора (массой $M+3$ кг) испарили 5 литров (5 кг) воды. Масса раствора стала $(M + 3) - 5 = M - 2$ кг. Новая концентрация $C_3 = \frac{m}{M - 2}$. По условию, она стала в 3 раза больше первоначальной: $C_3 = 3 C_1$. Получаем второе уравнение: $ \frac{m}{M - 2} = 3 \cdot \frac{m}{M} $

Решим второе уравнение, предварительно сократив его на $m$ (так как $m>0$): $ \frac{1}{M - 2} = \frac{3}{M} $ $ M = 3(M - 2) $ $ M = 3M - 6 $ $ 2M = 6 $ $ M = 3 $ кг.

Подставим найденное значение $M = 3$ в первое уравнение, чтобы найти массу соли $m$: $ \frac{m}{3 + 3} = \frac{m}{3} - 0.15 $ $ \frac{m}{6} = \frac{m}{3} - 0.15 $ $ 0.15 = \frac{m}{3} - \frac{m}{6} $ Приведем дроби к общему знаменателю 6: $ 0.15 = \frac{2m - m}{6} $ $ 0.15 = \frac{m}{6} $ $ m = 6 \cdot 0.15 = 0.9 $ кг.

Найдем искомую первоначальную концентрацию $C_1$: $ C_1 = \frac{m}{M} = \frac{0.9}{3} = 0.3 $. В процентах: $0.3 \cdot 100\% = 30\%$.

Ответ: 30%.