Номер 233, страница 390 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задачи на сплавы и смеси. Задания для повторения - номер 233, страница 390.

233 a) Имелось два раствора кислоты в воде: 60%-ный и 20%-ный. Первую смесь получили из некоторого количества первого раствора и 15 л второго, а вторую смесь — из прежнего количества первого и 5 л второго. Сколько литров первого раствора использовали для приготовления каждой смеси, если концентрация кислоты в первой смеси вдвое меньше концентрации воды во второй?

б) Имеется два слитка, содержащие 40% и 80% цинка. Первый сплав получили из 5 кг первого слитка и некоторого количества второго, а второй сплав получили из 3 кг первого слитка и прежнего количества второго. Сколько килограммов второго слитка использовано для приготовления каждого сплава, если содержание цинка в первом сплаве на 5% меньше, чем во втором, и вес второго слитка не превышает 8 кг?

в) Имеется два слитка меди и цинка, второй из которых содержит 70% меди. Первый сплав, содержащий 45% цинка, получили из 5 кг первого слитка и некоторого количества второго, а второй сплав, содержащий 50% меди, получили из 10 кг первого слитка и прежнего количества второго. Каково процентное содержание меди в первом слитке?

г) Имеется два слитка меди и серебра, содержащие 60% и 40% меди соответственно. Первый сплав получили, взяв 15 кг первого слитка и некоторое количество второго. Второй сплав получили, взяв 20 кг первого слитка и прежнее количество второго слитка. Сколько килограммов второго слитка использовано для приготовления каждого сплава, если концентрация меди в первом сплаве относится к концентрации серебра во втором как $5 : 4$?

а) Пусть для приготовления каждой смеси использовали $x$ литров первого (60%-го) раствора.
Первая смесь состоит из $x$ л 60%-го раствора и 15 л 20%-го раствора. Общий объем первой смеси: $x + 15$ л. Количество кислоты в ней: $0.6x + 0.2 \cdot 15 = 0.6x + 3$ л. Концентрация кислоты в первой смеси: $C_{к1} = \frac{0.6x + 3}{x + 15}$.
Вторая смесь состоит из $x$ л 60%-го раствора и 5 л 20%-го раствора. Общий объем второй смеси: $x + 5$ л. Количество кислоты в ней: $0.6x + 0.2 \cdot 5 = 0.6x + 1$ л. Концентрация кислоты во второй смеси: $C_{к2} = \frac{0.6x + 1}{x + 5}$.
Концентрация воды во второй смеси равна $C_{в2} = 1 - C_{к2} = 1 - \frac{0.6x + 1}{x + 5} = \frac{x + 5 - (0.6x + 1)}{x + 5} = \frac{0.4x + 4}{x + 5}$.
По условию, концентрация кислоты в первой смеси вдвое меньше концентрации воды во второй: $C_{к1} = \frac{1}{2}C_{в2}$.
$\frac{0.6x + 3}{x + 15} = \frac{1}{2} \cdot \frac{0.4x + 4}{x + 5}$
$\frac{0.6x + 3}{x + 15} = \frac{0.2x + 2}{x + 5}$
Перемножим крест-накрест:
$(0.6x + 3)(x + 5) = (0.2x + 2)(x + 15)$
$0.6x^2 + 3x + 3x + 15 = 0.2x^2 + 3x + 2x + 30$
$0.6x^2 + 6x + 15 = 0.2x^2 + 5x + 30$
$0.4x^2 + x - 15 = 0$
Умножим уравнение на 5, чтобы избавиться от дробей:
$2x^2 + 5x - 75 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-75) = 25 + 600 = 625 = 25^2$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 25}{4}$
Так как объем не может быть отрицательным, выбираем корень со знаком плюс:
$x = \frac{-5 + 25}{4} = \frac{20}{4} = 5$.

Ответ: 5 литров.

б) Пусть для приготовления каждого сплава использовали $y$ кг второго (80%-го) слитка. По условию $y \le 8$ кг.
Первый сплав получили из 5 кг первого слитка (40% цинка) и $y$ кг второго. Общая масса: $5 + y$ кг. Масса цинка: $5 \cdot 0.4 + y \cdot 0.8 = 2 + 0.8y$ кг. Содержание цинка в первом сплаве: $C_{ц1} = \frac{2 + 0.8y}{5 + y}$.
Второй сплав получили из 3 кг первого слитка и $y$ кг второго. Общая масса: $3 + y$ кг. Масса цинка: $3 \cdot 0.4 + y \cdot 0.8 = 1.2 + 0.8y$ кг. Содержание цинка во втором сплаве: $C_{ц2} = \frac{1.2 + 0.8y}{3 + y}$.
По условию, содержание цинка в первом сплаве на 5% (т.е. на 0.05) меньше, чем во втором: $C_{ц1} = C_{ц2} - 0.05$.
$\frac{2 + 0.8y}{5 + y} = \frac{1.2 + 0.8y}{3 + y} - 0.05$
$\frac{2 + 0.8y}{5 + y} = \frac{1.2 + 0.8y - 0.05(3 + y)}{3 + y}$
$\frac{2 + 0.8y}{5 + y} = \frac{1.2 + 0.8y - 0.15 - 0.05y}{3 + y}$
$\frac{2 + 0.8y}{5 + y} = \frac{1.05 + 0.75y}{3 + y}$
$(2 + 0.8y)(3 + y) = (1.05 + 0.75y)(5 + y)$
$6 + 2y + 2.4y + 0.8y^2 = 5.25 + 1.05y + 3.75y + 0.75y^2$
$0.8y^2 + 4.4y + 6 = 0.75y^2 + 4.8y + 5.25$
$0.05y^2 - 0.4y + 0.75 = 0$
Умножим уравнение на 20:
$y^2 - 8y + 15 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $y_1 = 3$, $y_2 = 5$.
Оба значения удовлетворяют условию $y \le 8$. Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: 3 кг или 5 кг.

в) Пусть процентное содержание меди в первом слитке равно $c_1$ (в долях), а масса второго слитка, взятого для сплавов, равна $y$ кг. Тогда содержание цинка в первом слитке равно $z_1 = 1 - c_1$. Во втором слитке содержание меди $c_2 = 0.7$, а цинка $z_2 = 1 - 0.7 = 0.3$.
Для первого сплава (45% цинка) взяли 5 кг первого слитка и $y$ кг второго. Уравнение для массы цинка:
$5z_1 + yz_2 = 0.45(5 + y)$
$5(1 - c_1) + 0.3y = 0.45(5 + y)$
$5 - 5c_1 + 0.3y = 2.25 + 0.45y$
$2.75 - 5c_1 = 0.15y$ (1)
Для второго сплава (50% меди) взяли 10 кг первого слитка и $y$ кг второго. Уравнение для массы меди:
$10c_1 + yc_2 = 0.5(10 + y)$
$10c_1 + 0.7y = 5 + 0.5y$
$10c_1 = 5 - 0.2y$ (2)
Из уравнения (2) выразим $y$:
$0.2y = 5 - 10c_1 \implies y = \frac{5 - 10c_1}{0.2} = 25 - 50c_1$.
Подставим выражение для $y$ в уравнение (1):
$2.75 - 5c_1 = 0.15(25 - 50c_1)$
$2.75 - 5c_1 = 3.75 - 7.5c_1$
$7.5c_1 - 5c_1 = 3.75 - 2.75$
$2.5c_1 = 1$
$c_1 = \frac{1}{2.5} = 0.4$.
Процентное содержание меди в первом слитке равно $0.4 \cdot 100\% = 40\%$.

Ответ: 40%.

г) Пусть для приготовления каждого сплава использовали $y$ кг второго слитка.
Первый слиток: 60% меди, 40% серебра. Второй слиток: 40% меди, 60% серебра.
Первый сплав получили из 15 кг первого слитка и $y$ кг второго. Общая масса: $15+y$ кг. Масса меди в нем: $15 \cdot 0.6 + y \cdot 0.4 = 9 + 0.4y$ кг. Концентрация меди в первом сплаве: $C_{м1} = \frac{9 + 0.4y}{15 + y}$.
Второй сплав получили из 20 кг первого слитка и $y$ кг второго. Общая масса: $20+y$ кг. Масса серебра в нем: $20 \cdot 0.4 + y \cdot 0.6 = 8 + 0.6y$ кг. Концентрация серебра во втором сплаве: $C_{с2} = \frac{8 + 0.6y}{20 + y}$.
По условию, отношение концентрации меди в первом сплаве к концентрации серебра во втором равно 5:4.
$\frac{C_{м1}}{C_{с2}} = \frac{5}{4} \implies 4C_{м1} = 5C_{с2}$
$4 \cdot \frac{9 + 0.4y}{15 + y} = 5 \cdot \frac{8 + 0.6y}{20 + y}$
$4(9 + 0.4y)(20 + y) = 5(8 + 0.6y)(15 + y)$
$4(180 + 9y + 8y + 0.4y^2) = 5(120 + 8y + 9y + 0.6y^2)$
$4(0.4y^2 + 17y + 180) = 5(0.6y^2 + 17y + 120)$
$1.6y^2 + 68y + 720 = 3y^2 + 85y + 600$
$0 = (3 - 1.6)y^2 + (85 - 68)y + (600 - 720)$
$0 = 1.4y^2 + 17y - 120$
Умножим уравнение на 5:
$7y^2 + 85y - 600 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = 85^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-600) = 7225 + 16800 = 24025 = 155^2$
$y = \frac{-85 \pm 155}{2 \cdot 7} = \frac{-85 \pm 155}{14}$
Так как масса $y$ должна быть положительной, выбираем корень со знаком плюс:
$y = \frac{-85 + 155}{14} = \frac{70}{14} = 5$.

Ответ: 5 кг.