Номер 239, страница 392 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задачи на совместную работу. Задания для повторения - номер 239, страница 392.

239 Пустой бак с помощью трёх труб, работающих совместно, можно наполнить за 13 ч 20 мин. Ту же работу первая и третья трубы выполняют за 20 ч, а первая и вторая — за одни сутки. Найдите отношение производительностей первой и второй труб (производительности всех труб постоянны).

Пусть $p_1$, $p_2$ и $p_3$ — производительности первой, второй и третьей труб соответственно, то есть какую часть бака каждая труба наполняет за один час. Весь объем работы (наполнение одного бака) примем за 1.

Сначала переведем все указанные временные интервалы в часы, чтобы работать в единой системе единиц:
Время совместной работы трёх труб: 13 ч 20 мин = $13 \frac{20}{60}$ ч = $13 \frac{1}{3}$ ч = $\frac{40}{3}$ ч.
Время совместной работы первой и третьей труб: 20 ч.
Время совместной работы первой и второй труб: одни сутки = 24 ч.

На основе условия задачи составим систему уравнений, используя формулу «Работа = Производительность × Время», откуда «Производительность = Работа / Время».
1. Суммарная производительность трёх труб: $p_1 + p_2 + p_3 = \frac{1}{40/3} = \frac{3}{40}$ (бака/час).
2. Суммарная производительность первой и третьей труб: $p_1 + p_3 = \frac{1}{20}$ (бака/час).
3. Суммарная производительность первой и второй труб: $p_1 + p_2 = \frac{1}{24}$ (бака/час).

Получили систему из трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:
$\begin{cases} p_1 + p_2 + p_3 = \frac{3}{40} \\ p_1 + p_3 = \frac{1}{20} \\ p_1 + p_2 = \frac{1}{24} \end{cases}$

Для нахождения производительности второй трубы ($p_2$), вычтем второе уравнение из первого:
$(p_1 + p_2 + p_3) - (p_1 + p_3) = \frac{3}{40} - \frac{1}{20}$
$p_2 = \frac{3}{40} - \frac{2}{40} = \frac{1}{40}$ (бака/час).

Теперь, зная производительность второй трубы $p_2$, найдем производительность первой трубы $p_1$ из третьего уравнения системы:
$p_1 + p_2 = \frac{1}{24}$
$p_1 = \frac{1}{24} - p_2 = \frac{1}{24} - \frac{1}{40}$
Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 24 и 40 равно 120.
$p_1 = \frac{5}{120} - \frac{3}{120} = \frac{2}{120} = \frac{1}{60}$ (бака/час).

Задача требует найти отношение производительностей первой и второй труб, то есть величину $\frac{p_1}{p_2}$.
$\frac{p_1}{p_2} = \frac{1/60}{1/40} = \frac{1}{60} \cdot 40 = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.