Номер 195, страница 386 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Тригонометрия. Вычисления и преобразования. Задания для повторения - номер 195, страница 386.

195 Докажите справедливость равенства:

а) $\frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha} = \text{tg } 2\alpha;$

б) $\frac{\sin 2x - \sin x}{2 \cos x - 1} = \sin x;$

В) $\frac{\sin 3x - \sin x}{2 \sin (1.5\pi + 2x)} = -\sin x;$

Г) $\frac{\text{tg}^2 x \cos^2 x - \cos^2 x}{\cos 2x} = -1.$

а) Чтобы доказать равенство, преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами суммы синусов и суммы косинусов:
$ \sin A + \sin B = 2 \sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} $
$ \cos A + \cos B = 2 \cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} $
Применим эти формулы к нашему выражению, поменяв местами слагаемые для удобства:
$ \frac{\sin 3\alpha + \sin \alpha}{\cos 3\alpha + \cos \alpha} = \frac{2 \sin\frac{3\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2}}{2 \cos\frac{3\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2}} = \frac{2 \sin 2\alpha \cos \alpha}{2 \cos 2\alpha \cos \alpha} $
Сокращаем дробь на общий множитель $ 2 \cos \alpha $ (при условии, что $ \cos \alpha \neq 0 $ и $ \cos 2\alpha \neq 0 $):
$ \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \text{tg } 2\alpha $
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

б) Преобразуем левую часть равенства. В числителе применим формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $:
$ \frac{\sin 2x - \sin x}{2 \cos x - 1} = \frac{2 \sin x \cos x - \sin x}{2 \cos x - 1} $
Вынесем в числителе общий множитель $ \sin x $ за скобки:
$ \frac{\sin x (2 \cos x - 1)}{2 \cos x - 1} $
Сокращаем дробь на $ (2 \cos x - 1) $ (при условии, что $ 2 \cos x - 1 \neq 0 $):
$ \sin x $
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

в) Преобразуем левую часть равенства. Для числителя используем формулу разности синусов $ \sin A - \sin B = 2 \cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} $. Для знаменателя — формулу приведения $ \sin(1.5\pi + \alpha) = \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos\alpha $.
Преобразуем числитель:
$ \sin 3x - \sin x = 2 \cos\frac{3x+x}{2}\sin\frac{3x-x}{2} = 2 \cos 2x \sin x $
Преобразуем знаменатель:
$ 2 \sin(1.5\pi + 2x) = 2(-\cos 2x) = -2 \cos 2x $
Подставим преобразованные выражения в исходную дробь:
$ \frac{2 \cos 2x \sin x}{-2 \cos 2x} $
Сокращаем дробь на $ 2 \cos 2x $ (при условии, что $ \cos 2x \neq 0 $):
$ \frac{\sin x}{-1} = -\sin x $
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

г) Преобразуем левую часть равенства. В числителе заменим $ \text{tg}^2 x $ на $ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} $ (при условии, что $ \cos x \neq 0 $):
$ \frac{\text{tg}^2 x \cos^2 x - \cos^2 x}{\cos 2x} = \frac{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \cdot \cos^2 x - \cos^2 x}{\cos 2x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\cos 2x} $
Вынесем в числителе минус за скобки:
$ \frac{-(\cos^2 x - \sin^2 x)}{\cos 2x} $
Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x $:
$ \frac{-(\cos 2x)}{\cos 2x} $
Сокращаем дробь на $ \cos 2x $ (при условии, что $ \cos 2x \neq 0 $):
$ -1 $
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.