Номер 200, страница 386 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Тригонометрия. Решение уравнений. Задания для повторения - номер 200, страница 386.
№200 (с. 386)
Условие. №200 (с. 386)
скриншот условия

200 a) $\cos^2 x - \cos 2x = \sin x;$
б) $\cos 2x + \sin^2 x = \cos x;$
В) $3 \cos 2x = 4 - 11 \cos x;$
Г) $2 \cos^2 x - 7 \cos x = 2 \sin^2 x.$
Решение 1. №200 (с. 386)




Решение 2. №200 (с. 386)

Решение 3. №200 (с. 386)


Решение 5. №200 (с. 386)
а) $cos^2 x - cos 2x = sin x$
Используем формулу двойного угла для косинуса: $cos 2x = cos^2 x - sin^2 x$. Подставим ее в исходное уравнение:
$cos^2 x - (cos^2 x - sin^2 x) = sin x$
$cos^2 x - cos^2 x + sin^2 x = sin x$
$sin^2 x - sin x = 0$
Вынесем $sin x$ за скобки:
$sin x (sin x - 1) = 0$
Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
1) $sin x = 0$
Решением этого уравнения является $x = \pi n$, где $n \in Z$.
2) $sin x - 1 = 0$, то есть $sin x = 1$
Решением этого уравнения является $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.
Ответ: $x = \pi n, n \in Z$; $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in Z$.
б) $cos 2x + sin^2 x = cos x$
Используем формулу двойного угла для косинуса: $cos 2x = cos^2 x - sin^2 x$. Подставим ее в уравнение:
$(cos^2 x - sin^2 x) + sin^2 x = cos x$
$cos^2 x = cos x$
$cos^2 x - cos x = 0$
Вынесем $cos x$ за скобки:
$cos x (cos x - 1) = 0$
Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
1) $cos x = 0$
Решением этого уравнения является $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.
2) $cos x - 1 = 0$, то есть $cos x = 1$
Решением этого уравнения является $x = 2\pi k$, где $k \in Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$; $x = 2\pi k, k \in Z$.
в) $3 cos 2x = 4 - 11 cos x$
Используем формулу двойного угла для косинуса, чтобы привести уравнение к одной функции: $cos 2x = 2cos^2 x - 1$.
$3(2cos^2 x - 1) = 4 - 11 cos x$
$6cos^2 x - 3 = 4 - 11 cos x$
$6cos^2 x + 11 cos x - 7 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = cos x$, где $|t| \le 1$.
$6t^2 + 11t - 7 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-7) = 121 + 168 = 289 = 17^2$.
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{-11 - 17}{2 \cdot 6} = \frac{-28}{12} = -\frac{7}{3}$
$t_2 = \frac{-11 + 17}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
Вернемся к замене. Первый корень $t_1 = -\frac{7}{3}$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, так как $|-\frac{7}{3}| > 1$.
Рассмотрим второй корень:
$cos x = \frac{1}{2}$
Решением этого уравнения является $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z$.
г) $2 cos^2 x - 7 cos x = 2 sin^2 x$
Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2 x = 1 - cos^2 x$, чтобы привести уравнение к одной функции.
$2 cos^2 x - 7 cos x = 2(1 - cos^2 x)$
$2 cos^2 x - 7 cos x = 2 - 2 cos^2 x$
$4 cos^2 x - 7 cos x - 2 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = cos x$, где $|t| \le 1$.
$4t^2 - 7t - 2 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81 = 9^2$.
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{7 - 9}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$
$t_2 = \frac{7 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2$
Вернемся к замене. Второй корень $t_2 = 2$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$.
Рассмотрим первый корень:
$cos x = -\frac{1}{4}$
Решением этого уравнения является $x = \pm arccos(-\frac{1}{4}) + 2\pi n$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = \pm arccos(-\frac{1}{4}) + 2\pi n, n \in Z$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 200 расположенного на странице 386 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №200 (с. 386), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.