Номер 200, страница 386 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Тригонометрия. Решение уравнений - номер 200, страница 386.

Условие.

200 a) $\cos^2 x - \cos 2x = \sin x;$

б) $\cos 2x + \sin^2 x = \cos x;$

В) $3 \cos 2x = 4 - 11 \cos x;$

Г) $2 \cos^2 x - 7 \cos x = 2 \sin^2 x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а) $cos^2 x - cos 2x = sin x$

Используем формулу двойного угла для косинуса: $cos 2x = cos^2 x - sin^2 x$. Подставим ее в исходное уравнение:

$cos^2 x - (cos^2 x - sin^2 x) = sin x$

$cos^2 x - cos^2 x + sin^2 x = sin x$

$sin^2 x - sin x = 0$

Вынесем $sin x$ за скобки:

$sin x (sin x - 1) = 0$

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1) $sin x = 0$

Решением этого уравнения является $x = \pi n$, где $n \in Z$.

2) $sin x - 1 = 0$, то есть $sin x = 1$

Решением этого уравнения является $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = \pi n, n \in Z$; $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in Z$.

б) $cos 2x + sin^2 x = cos x$

Используем формулу двойного угла для косинуса: $cos 2x = cos^2 x - sin^2 x$. Подставим ее в уравнение:

$(cos^2 x - sin^2 x) + sin^2 x = cos x$

$cos^2 x = cos x$

$cos^2 x - cos x = 0$

Вынесем $cos x$ за скобки:

$cos x (cos x - 1) = 0$

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1) $cos x = 0$

Решением этого уравнения является $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.

2) $cos x - 1 = 0$, то есть $cos x = 1$

Решением этого уравнения является $x = 2\pi k$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$; $x = 2\pi k, k \in Z$.

в) $3 cos 2x = 4 - 11 cos x$

Используем формулу двойного угла для косинуса, чтобы привести уравнение к одной функции: $cos 2x = 2cos^2 x - 1$.

$3(2cos^2 x - 1) = 4 - 11 cos x$

$6cos^2 x - 3 = 4 - 11 cos x$

$6cos^2 x + 11 cos x - 7 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = cos x$, где $|t| \le 1$.

$6t^2 + 11t - 7 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-7) = 121 + 168 = 289 = 17^2$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-11 - 17}{2 \cdot 6} = \frac{-28}{12} = -\frac{7}{3}$

$t_2 = \frac{-11 + 17}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Вернемся к замене. Первый корень $t_1 = -\frac{7}{3}$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, так как $|-\frac{7}{3}| > 1$.

Рассмотрим второй корень:

$cos x = \frac{1}{2}$

Решением этого уравнения является $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z$.

г) $2 cos^2 x - 7 cos x = 2 sin^2 x$

Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2 x = 1 - cos^2 x$, чтобы привести уравнение к одной функции.

$2 cos^2 x - 7 cos x = 2(1 - cos^2 x)$

$2 cos^2 x - 7 cos x = 2 - 2 cos^2 x$

$4 cos^2 x - 7 cos x - 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = cos x$, где $|t| \le 1$.

$4t^2 - 7t - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81 = 9^2$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{7 - 9}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$

$t_2 = \frac{7 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2$

Вернемся к замене. Второй корень $t_2 = 2$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$.

Рассмотрим первый корень:

$cos x = -\frac{1}{4}$

Решением этого уравнения является $x = \pm arccos(-\frac{1}{4}) + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \pm arccos(-\frac{1}{4}) + 2\pi n, n \in Z$.