Номер 196, страница 386 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Тригонометрия. Вычисления и преобразования - номер 196, страница 386.

Условие.

196 Упростите выражение:

a) $sin\left(\frac{5}{3}\pi + x\right) - sin\left(\frac{4}{3}\pi + x\right);$

б) $cos\left(\frac{4}{3}\pi + x\right) + cos\left(\frac{2}{3}\pi + x\right);$

в) $\frac{cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) - cos\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)}{\sqrt{2} sin(\alpha + \pi)};$

г) $\frac{\sqrt{3} sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)}{sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) + sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)};$

д) $\frac{sin(0,5\pi + x) + cos(\pi - 3x)}{1 - cos(-2x)};$

е) $\frac{cos(1,5\pi + 6x) - sin(-2x)}{1 + cos(-4x)}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а) $ \sin(\frac{5\pi}{3} + x) - \sin(\frac{4\pi}{3} + x) $

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой разности синусов: $ \sin A - \sin B = 2 \sin\frac{A-B}{2} \cos\frac{A+B}{2} $.
Пусть $ A = \frac{5\pi}{3} + x $ и $ B = \frac{4\pi}{3} + x $.
Тогда:
$ \frac{A-B}{2} = \frac{(\frac{5\pi}{3} + x) - (\frac{4\pi}{3} + x)}{2} = \frac{\frac{\pi}{3}}{2} = \frac{\pi}{6} $
$ \frac{A+B}{2} = \frac{(\frac{5\pi}{3} + x) + (\frac{4\pi}{3} + x)}{2} = \frac{\frac{9\pi}{3} + 2x}{2} = \frac{3\pi + 2x}{2} = \frac{3\pi}{2} + x $
Подставляем найденные значения в формулу:
$ 2 \sin(\frac{\pi}{6}) \cos(\frac{3\pi}{2} + x) $
Мы знаем, что $ \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} $ и по формуле приведения $ \cos(\frac{3\pi}{2} + x) = \sin x $.
Получаем:
$ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin x = \sin x $
Ответ: $ \sin x $

б) $ \cos(\frac{4\pi}{3} + x) + \cos(\frac{2\pi}{3} + x) $

Воспользуемся формулой суммы косинусов: $ \cos A + \cos B = 2 \cos\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2} $.
Пусть $ A = \frac{4\pi}{3} + x $ и $ B = \frac{2\pi}{3} + x $.
Тогда:
$ \frac{A+B}{2} = \frac{(\frac{4\pi}{3} + x) + (\frac{2\pi}{3} + x)}{2} = \frac{\frac{6\pi}{3} + 2x}{2} = \frac{2\pi + 2x}{2} = \pi + x $
$ \frac{A-B}{2} = \frac{(\frac{4\pi}{3} + x) - (\frac{2\pi}{3} + x)}{2} = \frac{\frac{2\pi}{3}}{2} = \frac{\pi}{3} $
Подставляем в формулу:
$ 2 \cos(\pi + x) \cos(\frac{\pi}{3}) $
Мы знаем, что $ \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $ и по формуле приведения $ \cos(\pi + x) = -\cos x $.
Получаем:
$ 2 \cdot (-\cos x) \cdot \frac{1}{2} = -\cos x $
Ответ: $ -\cos x $

в) $ \frac{\cos(\alpha + \frac{\pi}{4}) - \cos(\alpha - \frac{\pi}{4})}{\sqrt{2} \sin(\alpha + \pi)} $

Упростим числитель, используя формулу разности косинусов $ \cos A - \cos B = -2 \sin\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2} $:
$ \cos(\alpha + \frac{\pi}{4}) - \cos(\alpha - \frac{\pi}{4}) = -2 \sin\frac{(\alpha + \frac{\pi}{4}) + (\alpha - \frac{\pi}{4})}{2} \sin\frac{(\alpha + \frac{\pi}{4}) - (\alpha - \frac{\pi}{4})}{2} = -2 \sin(\frac{2\alpha}{2}) \sin(\frac{\pi/2}{2}) = -2 \sin\alpha \sin(\frac{\pi}{4}) = -2 \sin\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} \sin\alpha $
Упростим знаменатель, используя формулу приведения $ \sin(\alpha + \pi) = -\sin\alpha $:
$ \sqrt{2} \sin(\alpha + \pi) = \sqrt{2} (-\sin\alpha) = -\sqrt{2} \sin\alpha $
Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:
$ \frac{-\sqrt{2} \sin\alpha}{-\sqrt{2} \sin\alpha} = 1 $
Ответ: $ 1 $

г) $ \frac{\sqrt{3} \sin(\alpha + \frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{3} + \alpha) + \sin(\frac{\pi}{3} - \alpha)} $

Упростим числитель, используя формулу приведения $ \sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) = \cos\alpha $:
$ \sqrt{3} \sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) = \sqrt{3} \cos\alpha $
Упростим знаменатель, используя формулу суммы синусов $ \sin A + \sin B = 2 \sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2} $:
$ \sin(\frac{\pi}{3} + \alpha) + \sin(\frac{\pi}{3} - \alpha) = 2 \sin\frac{(\frac{\pi}{3} + \alpha) + (\frac{\pi}{3} - \alpha)}{2} \cos\frac{(\frac{\pi}{3} + \alpha) - (\frac{\pi}{3} - \alpha)}{2} = 2 \sin(\frac{2\pi/3}{2}) \cos(\frac{2\alpha}{2}) = 2 \sin(\frac{\pi}{3}) \cos\alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos\alpha = \sqrt{3} \cos\alpha $
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$ \frac{\sqrt{3} \cos\alpha}{\sqrt{3} \cos\alpha} = 1 $
Ответ: $ 1 $

д) $ \frac{\sin(0,5\pi + x) + \cos(\pi - 3x)}{1 - \cos(-2x)} $

Преобразуем числитель, используя формулы приведения $ \sin(0,5\pi + x) = \sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos x $ и $ \cos(\pi - 3x) = -\cos(3x) $:
$ \cos x - \cos(3x) $
Применим формулу разности косинусов $ \cos A - \cos B = -2 \sin\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2} $:
$ -2 \sin(\frac{x+3x}{2}) \sin(\frac{x-3x}{2}) = -2 \sin(2x) \sin(-x) = 2 \sin(2x) \sin x $
Преобразуем знаменатель. Так как косинус - четная функция, $ \cos(-2x) = \cos(2x) $. Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x $:
$ 1 - \cos(2x) = 1 - (1 - 2\sin^2 x) = 2\sin^2 x $
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:
$ \frac{2 \sin(2x) \sin x}{2\sin^2 x} = \frac{\sin(2x)}{\sin x} $
Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2 \sin x \cos x $:
$ \frac{2 \sin x \cos x}{\sin x} = 2 \cos x $
Ответ: $ 2 \cos x $

е) $ \frac{\cos(1,5\pi + 6x) - \sin(-2x)}{1 + \cos(-4x)} $

Преобразуем числитель. Используем формулу приведения $ \cos(1,5\pi + 6x) = \cos(\frac{3\pi}{2} + 6x) = \sin(6x) $ и свойство нечетности синуса $ \sin(-2x) = -\sin(2x) $:
$ \sin(6x) - (-\sin(2x)) = \sin(6x) + \sin(2x) $
Применим формулу суммы синусов $ \sin A + \sin B = 2 \sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2} $:
$ 2 \sin(\frac{6x+2x}{2}) \cos(\frac{6x-2x}{2}) = 2 \sin(4x) \cos(2x) $
Преобразуем знаменатель. Так как косинус - четная функция, $ \cos(-4x) = \cos(4x) $. Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = 2\cos^2 \alpha - 1 $, где $ \alpha=2x $:
$ 1 + \cos(4x) = 1 + (2\cos^2(2x) - 1) = 2\cos^2(2x) $
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:
$ \frac{2 \sin(4x) \cos(2x)}{2\cos^2(2x)} = \frac{\sin(4x)}{\cos(2x)} $
Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(4x) = 2 \sin(2x) \cos(2x) $:
$ \frac{2 \sin(2x) \cos(2x)}{\cos(2x)} = 2 \sin(2x) $
Ответ: $ 2 \sin(2x) $