Номер 198, страница 386 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Тригонометрия. Решение уравнений. Задания для повторения - номер 198, страница 386.

Тригонометрия. Решение уравнений

198 Образуют ли арифметическую прогрессию расположенные в порядке возрастания положительные корни уравнения:

а) $ \sin x = 0 $;

б) $ \cos x = 0 $;

в) $ \operatorname{tg} x = 1 $;

г) $ \operatorname{ctg} x = -1 $;

д) $ \cos x = 0,5 $;

е) $ \sin x = 0,5 $?

а) sin x = 0;

Общее решение уравнения $ \sin x = 0 $ имеет вид $ x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Мы ищем положительные корни, то есть $ x > 0 $, что означает $ \pi n > 0 $, или $ n > 0 $. Следовательно, $ n $ принимает целые значения $ 1, 2, 3, \ldots $. Расположим положительные корни в порядке возрастания: $ x_1 = \pi \cdot 1 = \pi $
$ x_2 = \pi \cdot 2 = 2\pi $
$ x_3 = \pi \cdot 3 = 3\pi $
...
Полученная последовательность $ \pi, 2\pi, 3\pi, \ldots $ является арифметической прогрессией, так как разность между любыми двумя последовательными членами постоянна: $ d = x_{n+1} - x_n = \pi(n+1) - \pi n = \pi $.
Ответ: да, образуют арифметическую прогрессию с разностью $ d = \pi $.

б) cos x = 0;

Общее решение уравнения $ \cos x = 0 $ имеет вид $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Для нахождения положительных корней решим неравенство $ \frac{\pi}{2} + \pi n > 0 $, что дает $ \pi n > -\frac{\pi}{2} $, или $ n > -0,5 $. Следовательно, $ n $ принимает целые значения $ 0, 1, 2, \ldots $. Расположим положительные корни в порядке возрастания: $ x_1 = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2} $
$ x_2 = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 1 = \frac{3\pi}{2} $
$ x_3 = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 2 = \frac{5\pi}{2} $
...
Разность между соседними членами последовательности постоянна: $ d = x_2 - x_1 = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = \pi $.
$ d = x_3 - x_2 = \frac{5\pi}{2} - \frac{3\pi}{2} = \pi $.
Ответ: да, образуют арифметическую прогрессию с разностью $ d = \pi $.

в) tg x = 1;

Общее решение уравнения $ \tg x = 1 $ имеет вид $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Из условия $ x > 0 $ получаем $ \frac{\pi}{4} + \pi n > 0 $, то есть $ \pi n > -\frac{\pi}{4} $, или $ n > -0,25 $. Следовательно, $ n $ принимает целые значения $ 0, 1, 2, \ldots $. Расположим положительные корни в порядке возрастания: $ x_1 = \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{4} $
$ x_2 = \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 1 = \frac{5\pi}{4} $
$ x_3 = \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 2 = \frac{9\pi}{4} $
...
Разность между соседними членами последовательности постоянна: $ d = x_2 - x_1 = \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \pi $.
$ d = x_3 - x_2 = \frac{9\pi}{4} - \frac{5\pi}{4} = \pi $.
Ответ: да, образуют арифметическую прогрессию с разностью $ d = \pi $.

г) ctg x = -1;

Общее решение уравнения $ \operatorname{ctg} x = -1 $ имеет вид $ x = \frac{3\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Из условия $ x > 0 $ получаем $ \frac{3\pi}{4} + \pi n > 0 $, то есть $ \pi n > -\frac{3\pi}{4} $, или $ n > -0,75 $. Следовательно, $ n $ принимает целые значения $ 0, 1, 2, \ldots $. Расположим положительные корни в порядке возрастания: $ x_1 = \frac{3\pi}{4} + \pi \cdot 0 = \frac{3\pi}{4} $
$ x_2 = \frac{3\pi}{4} + \pi \cdot 1 = \frac{7\pi}{4} $
$ x_3 = \frac{3\pi}{4} + \pi \cdot 2 = \frac{11\pi}{4} $
...
Разность между соседними членами последовательности постоянна: $ d = x_2 - x_1 = \frac{7\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} = \pi $.
$ d = x_3 - x_2 = \frac{11\pi}{4} - \frac{7\pi}{4} = \pi $.
Ответ: да, образуют арифметическую прогрессию с разностью $ d = \pi $.

д) cos x = 0,5;

Общее решение уравнения $ \cos x = 0,5 $ записывается как $ x = \pm \arccos(0,5) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Это дает две серии корней:
1) $ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n $. Положительные корни (при $ n \ge 0 $): $ \frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{13\pi}{3}, \ldots $
2) $ x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n $. Положительные корни (при $ n \ge 1 $): $ \frac{5\pi}{3}, \frac{11\pi}{3}, \frac{17\pi}{3}, \ldots $
Объединим обе серии и расположим все положительные корни в порядке возрастания: $ x_1 = \frac{\pi}{3} $, $ x_2 = \frac{5\pi}{3} $, $ x_3 = \frac{7\pi}{3} $, $ x_4 = \frac{11\pi}{3} $, ...
Найдем разности между соседними членами: $ d_1 = x_2 - x_1 = \frac{5\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} $
$ d_2 = x_3 - x_2 = \frac{7\pi}{3} - \frac{5\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $
Так как $ d_1 \neq d_2 $, разность не является постоянной.
Ответ: нет, не образуют арифметическую прогрессию.

е) sin x = 0,5;

Общее решение уравнения $ \sin x = 0,5 $ записывается как $ x = (-1)^n \arcsin(0,5) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Это решение можно разбить на две серии:
1) Для четных $ n=2k $: $ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k $. Положительные корни (при $ k \ge 0 $): $ \frac{\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}, \frac{25\pi}{6}, \ldots $
2) Для нечетных $ n=2k+1 $: $ x = -\frac{\pi}{6} + (2k+1)\pi = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k $. Положительные корни (при $ k \ge 0 $): $ \frac{5\pi}{6}, \frac{17\pi}{6}, \frac{29\pi}{6}, \ldots $
Объединим обе серии и расположим все положительные корни в порядке возрастания: $ x_1 = \frac{\pi}{6} $, $ x_2 = \frac{5\pi}{6} $, $ x_3 = \frac{13\pi}{6} $, $ x_4 = \frac{17\pi}{6} $, ...
Найдем разности между соседними членами: $ d_1 = x_2 - x_1 = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} $
$ d_2 = x_3 - x_2 = \frac{13\pi}{6} - \frac{5\pi}{6} = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3} $
Так как $ d_1 \neq d_2 $, разность не является постоянной.
Ответ: нет, не образуют арифметическую прогрессию.