Номер 170, страница 382 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Тригонометрия. Вычисления и преобразования - номер 170, страница 382.

Условие.

Тригонометрия. Вычисления и преобразования

Упростите выражение (170–173)¹:

170

а) $ \sin (\pi - \alpha)$;

б) $ \sin (\pi + \alpha)$;

в) $ \cos (\pi - \alpha)$;

г) $ \cos (\pi + \alpha)$;

д) $ \operatorname{tg} (\pi - \alpha)$;

е) $ \operatorname{tg} (\pi + \alpha)$;

ж) $ \operatorname{ctg} (\pi - \alpha)$;

з) $ \operatorname{ctg} (\pi + \alpha)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения данных задач используются формулы приведения. Общее правило для углов вида $ \pi \pm \alpha $:
1. Определяется знак исходной тригонометрической функции в четверти, которой принадлежит угол $ \pi \pm \alpha $ (при условии, что $ \alpha $ — острый угол).
2. Название функции не меняется, так как смещение происходит на целое число $ \pi $.

а) Упростим $ \sin(\pi - \alpha) $. Угол $ (\pi - \alpha) $ находится во II координатной четверти. Синус во II четверти положителен. Название функции не меняется. Таким образом, $ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) $.
Ответ: $ \sin(\alpha) $

б) Упростим $ \sin(\pi + \alpha) $. Угол $ (\pi + \alpha) $ находится в III координатной четверти. Синус в III четверти отрицателен. Название функции не меняется. Таким образом, $ \sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha) $.
Ответ: $ -\sin(\alpha) $

в) Упростим $ \cos(\pi - \alpha) $. Угол $ (\pi - \alpha) $ находится во II координатной четверти. Косинус во II четверти отрицателен. Название функции не меняется. Таким образом, $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $.
Ответ: $ -\cos(\alpha) $

г) Упростим $ \cos(\pi + \alpha) $. Угол $ (\pi + \alpha) $ находится в III координатной четверти. Косинус в III четверти отрицателен. Название функции не меняется. Таким образом, $ \cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha) $.
Ответ: $ -\cos(\alpha) $

д) Упростим $ \tg(\pi - \alpha) $. Угол $ (\pi - \alpha) $ находится во II координатной четверти. Тангенс во II четверти отрицателен. Название функции не меняется. Таким образом, $ \tg(\pi - \alpha) = -\tg(\alpha) $.
Ответ: $ -\tg(\alpha) $

е) Упростим $ \tg(\pi + \alpha) $. Угол $ (\pi + \alpha) $ находится в III координатной четверти. Тангенс в III четверти положителен. Название функции не меняется. Таким образом, $ \tg(\pi + \alpha) = \tg(\alpha) $. Также это следует из того, что $ \pi $ является основным периодом функции тангенс.
Ответ: $ \tg(\alpha) $

ж) Упростим $ \ctg(\pi - \alpha) $. Угол $ (\pi - \alpha) $ находится во II координатной четверти. Котангенс во II четверти отрицателен. Название функции не меняется. Таким образом, $ \ctg(\pi - \alpha) = -\ctg(\alpha) $.
Ответ: $ -\ctg(\alpha) $

з) Упростим $ \ctg(\pi + \alpha) $. Угол $ (\pi + \alpha) $ находится в III координатной четверти. Котангенс в III четверти положителен. Название функции не меняется. Таким образом, $ \ctg(\pi + \alpha) = \ctg(\alpha) $. Также это следует из того, что $ \pi $ является основным периодом функции котангенс.
Ответ: $ \ctg(\alpha) $