Номер 164, страница 381 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Логарифмитические неравенства. Задания для повторения - номер 164, страница 381.

164 а) $\log_{\frac{1}{2}} x > 1$;

б) $\log_{\frac{1}{3}} x > 1$;

в) $\log_{\frac{1}{3}} x < 1$;

г) $\log_{\frac{1}{4}} x < 1$;

д) $\log_{\frac{1}{3}} x > 0$;

е) $\log_{\frac{1}{5}} x < 0$.

Для решения данных логарифмических неравенств используется свойство монотонности логарифмической функции. Если основание логарифма $a$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, то логарифмическая функция $y = \log_a x$ является убывающей. Это означает, что для любых $x_1 > 0$ и $x_2 > 0$ из неравенства $\log_a x_1 > \log_a x_2$ следует $x_1 < x_2$ (знак неравенства меняется на противоположный). Во всех задачах необходимо также учитывать область допустимых значений (ОДЗ), согласно которой аргумент логарифма должен быть строго положительным ($x > 0$).

а) Дано неравенство $\log_{\frac{1}{2}} x > 1$.
1. Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.
2. Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием $\frac{1}{2}$: $1 = \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right)^1 = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$.
3. Неравенство принимает вид: $\log_{\frac{1}{2}} x > \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$.
4. Так как основание логарифма $a = \frac{1}{2} < 1$, функция является убывающей, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный: $x < \frac{1}{2}$.
5. Учитывая ОДЗ, получаем систему: $\begin{cases} x > 0 \\ x < \frac{1}{2} \end{cases}$.
Решением является интервал $0 < x < \frac{1}{2}$.
Ответ: $0 < x < \frac{1}{2}$.

б) Дано неравенство $\log_{\frac{1}{3}} x > 1$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Представим $1$ как логарифм с основанием $\frac{1}{3}$: $1 = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3}$.
3. Неравенство: $\log_{\frac{1}{3}} x > \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3}$.
4. Основание $a = \frac{1}{3} < 1$, поэтому меняем знак неравенства: $x < \frac{1}{3}$.
5. С учетом ОДЗ ($x > 0$), получаем решение: $0 < x < \frac{1}{3}$.
Ответ: $0 < x < \frac{1}{3}$.

в) Дано неравенство $\log_{\frac{1}{3}} x < 1$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Представим $1$ как логарифм с основанием $\frac{1}{3}$: $1 = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3}$.
3. Неравенство: $\log_{\frac{1}{3}} x < \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3}$.
4. Основание $a = \frac{1}{3} < 1$, поэтому меняем знак неравенства: $x > \frac{1}{3}$.
5. Условие $x > \frac{1}{3}$ уже включает в себя ОДЗ ($x > 0$), так как если число больше $\frac{1}{3}$, оно автоматически больше нуля.
Ответ: $x > \frac{1}{3}$.

г) Дано неравенство $\log_{\frac{1}{4}} x < 1$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Представим $1$ как логарифм с основанием $\frac{1}{4}$: $1 = \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{4}$.
3. Неравенство: $\log_{\frac{1}{4}} x < \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{4}$.
4. Основание $a = \frac{1}{4} < 1$, поэтому меняем знак неравенства: $x > \frac{1}{4}$.
5. Условие $x > \frac{1}{4}$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $x > \frac{1}{4}$.

д) Дано неравенство $\log_{\frac{1}{3}} x > 0$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Представим $0$ как логарифм с основанием $\frac{1}{3}$: $0 = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^0 = \log_{\frac{1}{3}} 1$.
3. Неравенство: $\log_{\frac{1}{3}} x > \log_{\frac{1}{3}} 1$.
4. Основание $a = \frac{1}{3} < 1$, поэтому меняем знак неравенства: $x < 1$.
5. С учетом ОДЗ ($x > 0$), получаем решение: $0 < x < 1$.
Ответ: $0 < x < 1$.

е) Дано неравенство $\log_{\frac{1}{5}} x < 0$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Представим $0$ как логарифм с основанием $\frac{1}{5}$: $0 = \log_{\frac{1}{5}} \left(\frac{1}{5}\right)^0 = \log_{\frac{1}{5}} 1$.
3. Неравенство: $\log_{\frac{1}{5}} x < \log_{\frac{1}{5}} 1$.
4. Основание $a = \frac{1}{5} < 1$, поэтому меняем знак неравенства: $x > 1$.
5. Условие $x > 1$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $x > 1$.