Номер 162, страница 381 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Показатели неравенств. Задания для повторения - номер 162, страница 381.

162 а) $4^x \ge \frac{2 \cdot 4^{x+1} + 16}{16 - 4^x}$. Укажите наименьшее решение.

б) $\frac{53 \cdot 3^x - 243}{3^{x+1} - 1} \ge 3^x$. Укажите наибольшее решение.

в) $2^x + \frac{2^{x+2} + 4}{2^x - 8} \ge 0$. Укажите наименьшее решение.

г) $4^x \le \frac{15 \cdot 4^x - 16}{4^{x+1} - 1}$. Укажите наибольшее решение.

а) Решим неравенство $4^x \ge \frac{2 \cdot 4^{x+1} + 16}{16 - 4^x}$.
Введем замену $t = 4^x$. Так как $4^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.
Неравенство принимает вид:
$t \ge \frac{2 \cdot 4^x \cdot 4^1 + 16}{16 - 4^x} \Rightarrow t \ge \frac{8t + 16}{16 - t}$.
Область допустимых значений: $16 - t \ne 0 \Rightarrow t \ne 16$.
Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$t - \frac{8t + 16}{16 - t} \ge 0$
$\frac{t(16 - t) - (8t + 16)}{16 - t} \ge 0$
$\frac{16t - t^2 - 8t - 16}{16 - t} \ge 0$
$\frac{-t^2 + 8t - 16}{16 - t} \ge 0$
Вынесем минус из числителя:
$\frac{-(t^2 - 8t + 16)}{16 - t} \ge 0$
$\frac{-(t - 4)^2}{16 - t} \ge 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$\frac{(t - 4)^2}{16 - t} \le 0$
Числитель $(t-4)^2$ всегда неотрицателен. Дробь будет меньше или равна нулю в двух случаях:
1. Числитель равен нулю: $(t - 4)^2 = 0 \Rightarrow t = 4$. Это решение, так как знаменатель $16 - 4 = 12 \ne 0$.
2. Числитель положителен (т.е. $t \ne 4$), а знаменатель отрицателен: $16 - t < 0 \Rightarrow t > 16$.
Таким образом, решения для $t$: $t=4$ или $t > 16$.
Вернемся к замене:
1. $4^x = 4 \Rightarrow x = 1$.
2. $4^x > 16 \Rightarrow 4^x > 4^2 \Rightarrow x > 2$.
Решением неравенства является объединение $\{1\} \cup (2, +\infty)$.
Наименьшее решение из этого множества — $1$.
Ответ: $1$

б) Решим неравенство $\frac{53 \cdot 3^x - 243}{3^{x+1} - 1} \ge 3^x$.
Введем замену $t = 3^x$, где $t > 0$.
Неравенство принимает вид:
$\frac{53t - 243}{3t - 1} \ge t$.
Область допустимых значений: $3t - 1 \ne 0 \Rightarrow t \ne \frac{1}{3}$.
$\frac{53t - 243}{3t - 1} - t \ge 0$
$\frac{53t - 243 - t(3t - 1)}{3t - 1} \ge 0$
$\frac{53t - 243 - 3t^2 + t}{3t - 1} \ge 0$
$\frac{-3t^2 + 54t - 243}{3t - 1} \ge 0$
Вынесем $-3$ из числителя:
$\frac{-3(t^2 - 18t + 81)}{3t - 1} \ge 0$
$\frac{-3(t - 9)^2}{3t - 1} \ge 0$
Разделим обе части на -3, изменив знак неравенства:
$\frac{(t - 9)^2}{3t - 1} \le 0$
Числитель $(t-9)^2$ всегда неотрицателен. Дробь будет меньше или равна нулю в двух случаях:
1. Числитель равен нулю: $(t - 9)^2 = 0 \Rightarrow t = 9$. Это решение, так как знаменатель $3(9) - 1 = 26 \ne 0$.
2. Числитель положителен (т.е. $t \ne 9$), а знаменатель отрицателен: $3t - 1 < 0 \Rightarrow t < \frac{1}{3}$.
Учитывая, что $t > 0$, получаем $0 < t < \frac{1}{3}$.
Таким образом, решения для $t$: $t=9$ или $0 < t < \frac{1}{3}$.
Вернемся к замене:
1. $3^x = 9 \Rightarrow 3^x = 3^2 \Rightarrow x = 2$.
2. $0 < 3^x < \frac{1}{3} \Rightarrow 3^x < 3^{-1} \Rightarrow x < -1$.
Решением неравенства является объединение $(-\infty, -1) \cup \{2\}$.
Наибольшее решение из этого множества — $2$.
Ответ: $2$

в) Решим неравенство $2^x + \frac{2^{x+2} + 4}{2^x - 8} \ge 0$.
Введем замену $t = 2^x$, где $t > 0$.
Неравенство принимает вид:
$t + \frac{4t + 4}{t - 8} \ge 0$.
Область допустимых значений: $t - 8 \ne 0 \Rightarrow t \ne 8$.
$\frac{t(t - 8) + (4t + 4)}{t - 8} \ge 0$
$\frac{t^2 - 8t + 4t + 4}{t - 8} \ge 0$
$\frac{t^2 - 4t + 4}{t - 8} \ge 0$
$\frac{(t - 2)^2}{t - 8} \ge 0$
Числитель $(t-2)^2$ всегда неотрицателен. Дробь будет больше или равна нулю в двух случаях:
1. Числитель равен нулю: $(t - 2)^2 = 0 \Rightarrow t = 2$. Это решение, так как знаменатель $2-8 = -6 \ne 0$.
2. Числитель положителен (т.е. $t \ne 2$), а знаменатель положителен: $t - 8 > 0 \Rightarrow t > 8$.
Таким образом, решения для $t$: $t=2$ или $t > 8$.
Вернемся к замене:
1. $2^x = 2 \Rightarrow x = 1$.
2. $2^x > 8 \Rightarrow 2^x > 2^3 \Rightarrow x > 3$.
Решением неравенства является объединение $\{1\} \cup (3, +\infty)$.
Наименьшее решение из этого множества — $1$.
Ответ: $1$

г) Решим неравенство $4^x \le \frac{15 \cdot 4^x - 16}{4^{x+1} - 1}$.
Введем замену $t = 4^x$, где $t > 0$.
Неравенство принимает вид:
$t \le \frac{15t - 16}{4t - 1}$.
Область допустимых значений: $4t - 1 \ne 0 \Rightarrow t \ne \frac{1}{4}$.
$t - \frac{15t - 16}{4t - 1} \le 0$
$\frac{t(4t - 1) - (15t - 16)}{4t - 1} \le 0$
$\frac{4t^2 - t - 15t + 16}{4t - 1} \le 0$
$\frac{4t^2 - 16t + 16}{4t - 1} \le 0$
$\frac{4(t^2 - 4t + 4)}{4t - 1} \le 0$
$\frac{4(t - 2)^2}{4t - 1} \le 0$
Разделим обе части на 4:
$\frac{(t - 2)^2}{4t - 1} \le 0$
Числитель $(t-2)^2$ всегда неотрицателен. Дробь будет меньше или равна нулю в двух случаях:
1. Числитель равен нулю: $(t - 2)^2 = 0 \Rightarrow t = 2$. Это решение, так как знаменатель $4(2) - 1 = 7 \ne 0$.
2. Числитель положителен (т.е. $t \ne 2$), а знаменатель отрицателен: $4t - 1 < 0 \Rightarrow t < \frac{1}{4}$.
Учитывая, что $t > 0$, получаем $0 < t < \frac{1}{4}$.
Таким образом, решения для $t$: $t=2$ или $0 < t < \frac{1}{4}$.
Вернемся к замене:
1. $4^x = 2 \Rightarrow (2^2)^x = 2^1 \Rightarrow 2^{2x} = 2^1 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.
2. $0 < 4^x < \frac{1}{4} \Rightarrow 4^x < 4^{-1} \Rightarrow x < -1$.
Решением неравенства является объединение $(-\infty, -1) \cup \{\frac{1}{2}\}$.
Наибольшее решение из этого множества — $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$