Номер 163, страница 381 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Логарифмитические неравенства. Задания для повторения - номер 163, страница 381.

Логарифмические неравенства

Решите неравенство (163—168):

163 a) $\log_2 x > 1$;

б) $\log_3 x > 1$;

в) $\log_3 x < 1$;

г) $\log_4 x < 1$;

д) $\log_3 x > 0$;

е) $\log_5 x < 0$.

а) Решим неравенство $log_2 x > 1$.

1. Первым шагом найдем Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, следовательно, $x > 0$.

2. Представим число $1$ в виде логарифма с основанием $2$. Используем определение логарифма: $1 = log_2(2^1) = log_2(2)$.

3. Теперь неравенство можно переписать в виде: $log_2 x > log_2(2)$.

4. Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция $y = log_2(x)$ является возрастающей. Это означает, что для больших значений аргумента функция принимает большие значения. Поэтому мы можем перейти от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов, сохранив знак неравенства: $x > 2$.

5. Совместим полученное решение с ОДЗ. Мы имеем систему неравенств:
$ \begin{cases} x > 2 \\ x > 0 \end{cases} $
Решением этой системы является $x > 2$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

б) Решим неравенство $log_3 x > 1$.

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Представим $1$ как логарифм по основанию $3$: $1 = log_3(3)$.

3. Неравенство принимает вид: $log_3 x > log_3(3)$.

4. Основание $3 > 1$, поэтому логарифмическая функция возрастает. Знак неравенства сохраняется при переходе к аргументам: $x > 3$.

5. Учитывая ОДЗ ($x > 0$), итоговое решение: $x > 3$.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

в) Решим неравенство $log_3 x < 1$.

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Представим $1$ как логарифм по основанию $3$: $1 = log_3(3)$.

3. Неравенство принимает вид: $log_3 x < log_3(3)$.

4. Основание $3 > 1$, функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется: $x < 3$.

5. Совместим полученное решение с ОДЗ. Получаем систему:
$ \begin{cases} x < 3 \\ x > 0 \end{cases} $
Решением является интервал $0 < x < 3$.

Ответ: $x \in (0; 3)$.

г) Решим неравенство $log_4 x < 1$.

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Представим $1$ как логарифм по основанию $4$: $1 = log_4(4)$.

3. Неравенство принимает вид: $log_4 x < log_4(4)$.

4. Основание $4 > 1$, функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется: $x < 4$.

5. Совмещая с ОДЗ ($x > 0$), получаем решение $0 < x < 4$.

Ответ: $x \in (0; 4)$.

д) Решим неравенство $log_3 x > 0$.

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Представим $0$ как логарифм по основанию $3$: $0 = log_3(3^0) = log_3(1)$.

3. Неравенство принимает вид: $log_3 x > log_3(1)$.

4. Основание $3 > 1$, функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется: $x > 1$.

5. Учитывая ОДЗ ($x > 0$), итоговое решение: $x > 1$.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

е) Решим неравенство $log_5 x < 0$.

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Представим $0$ как логарифм по основанию $5$: $0 = log_5(5^0) = log_5(1)$.

3. Неравенство принимает вид: $log_5 x < log_5(1)$.

4. Основание $5 > 1$, функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется: $x < 1$.

5. Совмещая с ОДЗ ($x > 0$), получаем решение $0 < x < 1$.

Ответ: $x \in (0; 1)$.