Номер 146, страница 379 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Показатели уравнения. Задания для повторения - номер 146, страница 379.

146 a) $7^{x-2} + 38 \cdot 3^x = 7^{x+1};$

б) $5^{x-1} + 5^{x+2} = 70 \cdot 3^x;$

в) $2^{x+1} - 2^{x-1} = 3^{2-x};$

г) $3^{x-1} - 3^{x+1} + 2^{4-x} = 0.$

а) $7^{x-2} + 38 \cdot 3^x = 7^{x+1}$

Перенесем слагаемые, содержащие основание 7, в одну часть уравнения:

$38 \cdot 3^x = 7^{x+1} - 7^{x-2}$

Вынесем за скобки общий множитель $7^{x-2}$ в правой части:

$38 \cdot 3^x = 7^{x-2}(7^{x+1-(x-2)} - 1)$

$38 \cdot 3^x = 7^{x-2}(7^3 - 1)$

$38 \cdot 3^x = 7^{x-2}(343 - 1)$

$38 \cdot 3^x = 342 \cdot 7^{x-2}$

Разделим обе части уравнения на 38:

$3^x = \frac{342}{38} \cdot 7^{x-2}$

$3^x = 9 \cdot 7^{x-2}$

Используем свойства степеней, чтобы сгруппировать слагаемые с переменной $x$:

$3^x = 3^2 \cdot \frac{7^x}{7^2}$

$3^x = \frac{9}{49} \cdot 7^x$

Разделим обе части на $7^x$ (это возможно, так как $7^x > 0$ при любом $x$):

$\frac{3^x}{7^x} = \frac{9}{49}$

$(\frac{3}{7})^x = (\frac{3}{7})^2$

Так как основания степеней равны, то равны и их показатели:

$x = 2$

Ответ: $2$

б) $5^{x-1} + 5^{x+2} = 70 \cdot 3^x$

Вынесем за скобки общий множитель $5^{x-1}$ в левой части уравнения:

$5^{x-1}(1 + 5^{x+2-(x-1)}) = 70 \cdot 3^x$

$5^{x-1}(1 + 5^3) = 70 \cdot 3^x$

$5^{x-1}(1 + 125) = 70 \cdot 3^x$

$126 \cdot 5^{x-1} = 70 \cdot 3^x$

Разделим обе части уравнения на общий делитель 14:

$9 \cdot 5^{x-1} = 5 \cdot 3^x$

Используем свойства степеней:

$9 \cdot \frac{5^x}{5^1} = 5 \cdot 3^x$

$\frac{9}{5} \cdot 5^x = 5 \cdot 3^x$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части, а константы в другой. Для этого разделим обе части на $3^x$ и умножим на 5:

$9 \cdot 5^x = 25 \cdot 3^x$

$\frac{5^x}{3^x} = \frac{25}{9}$

$(\frac{5}{3})^x = (\frac{5}{3})^2$

Так как основания степеней равны, то равны и их показатели:

$x = 2$

Ответ: $2$

в) $2^{x+1} - 2^{x-1} = 3^{2-x}$

Вынесем за скобки общий множитель $2^{x-1}$ в левой части уравнения:

$2^{x-1}(2^{x+1-(x-1)} - 1) = 3^{2-x}$

$2^{x-1}(2^2 - 1) = 3^{2-x}$

$2^{x-1}(4 - 1) = 3^{2-x}$

$3 \cdot 2^{x-1} = 3^{2-x}$

Используем свойства степеней:

$3 \cdot \frac{2^x}{2} = \frac{3^2}{3^x}$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части, а константы в другой. Для этого умножим обе части на $3^x$ и на 2:

$3 \cdot 2^x \cdot 3^x = 2 \cdot 3^2$

$3 \cdot (2 \cdot 3)^x = 18$

$3 \cdot 6^x = 18$

Разделим обе части на 3:

$6^x = 6$

$6^x = 6^1$

Так как основания степеней равны, то равны и их показатели:

$x = 1$

Ответ: $1$

г) $3^{x-1} - 3^{x+1} + 2^{4-x} = 0$

Перенесем слагаемое с основанием 2 в правую часть уравнения:

$3^{x-1} - 3^{x+1} = -2^{4-x}$

Вынесем за скобки общий множитель $3^{x-1}$ в левой части:

$3^{x-1}(1 - 3^{x+1-(x-1)}) = -2^{4-x}$

$3^{x-1}(1 - 3^2) = -2^{4-x}$

$3^{x-1}(1 - 9) = -2^{4-x}$

$-8 \cdot 3^{x-1} = -2^{4-x}$

Умножим обе части уравнения на -1 и представим 8 как $2^3$:

$2^3 \cdot 3^{x-1} = 2^{4-x}$

Используем свойства степеней:

$2^3 \cdot \frac{3^x}{3} = \frac{2^4}{2^x}$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части, а константы в другой. Для этого умножим обе части на $2^x$ и на 3:

$2^3 \cdot 3^x \cdot 2^x = 3 \cdot 2^4$

$8 \cdot (3 \cdot 2)^x = 3 \cdot 16$

$8 \cdot 6^x = 48$

Разделим обе части на 8:

$6^x = 6$

$6^x = 6^1$

Так как основания степеней равны, то равны и их показатели:

$x = 1$

Ответ: $1$