Номер 142, страница 379 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Показатели уравнения. Задания для повторения - номер 142, страница 379.

142 a) $2^{2x} - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$;

б) $3^{2x} + 8 \cdot 3^x - 9 = 0$.

а) $2^{2x} - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$

Данное показательное уравнение можно свести к квадратному. Заметим, что $2^{2x} = (2^x)^2$. Перепишем уравнение в виде:

$(2^x)^2 - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $y=a^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно переменной $t$:

$t^2 - 6t + 8 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Легко подобрать корни:

$t_1 = 2$

$t_2 = 4$

Оба корня положительные, поэтому оба удовлетворяют условию $t > 0$.

Теперь выполним обратную замену для каждого корня:

1. Для $t_1 = 2$:

$2^x = 2$

$2^x = 2^1$

$x_1 = 1$

2. Для $t_2 = 4$:

$2^x = 4$

$2^x = 2^2$

$x_2 = 2$

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $x=1, x=2$.

б) $3^{2x} + 8 \cdot 3^x - 9 = 0$

Это уравнение также является показательным и сводится к квадратному. Представим $3^{2x}$ как $(3^x)^2$:

$(3^x)^2 + 8 \cdot 3^x - 9 = 0$

Введем новую переменную. Пусть $y = 3^x$, при этом должно выполняться условие $y > 0$.

Подставим $y$ в уравнение:

$y^2 + 8y - 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=1, b=8, c=-9$.

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$

Найдем корни:

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 10}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 10}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Теперь проверим корни на соответствие условию $y > 0$.

Корень $y_1 = -9$ не удовлетворяет условию $y > 0$, следовательно, это посторонний корень.

Корень $y_2 = 1$ удовлетворяет условию $y > 0$.

Выполним обратную замену для $y_2 = 1$:

$3^x = 1$

Представим 1 как степень с основанием 3:

$3^x = 3^0$

Отсюда получаем, что $x = 0$.

Ответ: $x=0$.