Номер 51, страница 369 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Рациональные уравнения. Задания для повторения - номер 51, страница 369.

Рациональные уравнения

Решите уравнение (51—55):

51

а) $\frac{9x+5}{3x+10} - \frac{3x+7}{x+6} = 0;$

б) $\frac{3x+8}{7x-3} - \frac{6x-9}{14x+44} = 0;$

в) $\frac{9x-4}{3x+7} - \frac{3x+4}{x+5} = 0;$

г) $\frac{3x+2}{7x-17} - \frac{6x-21}{14x+16} = 0.$

а)

Исходное уравнение: $ \frac{9x + 5}{3x + 10} - \frac{3x + 7}{x + 6} = 0 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю:

$3x + 10 \neq 0 \implies 3x \neq -10 \implies x \neq -\frac{10}{3}$

$x + 6 \neq 0 \implies x \neq -6$

Перенесем вторую дробь в правую часть уравнения:

$ \frac{9x + 5}{3x + 10} = \frac{3x + 7}{x + 6} $

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$ (9x + 5)(x + 6) = (3x + 7)(3x + 10) $

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$ 9x^2 + 54x + 5x + 30 = 9x^2 + 30x + 21x + 70 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 9x^2 + 59x + 30 = 9x^2 + 51x + 70 $

Вычтем $9x^2$ из обеих частей:

$ 59x + 30 = 51x + 70 $

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$ 59x - 51x = 70 - 30 $

$ 8x = 40 $

$ x = \frac{40}{8} $

$ x = 5 $

Полученный корень $x=5$ удовлетворяет ОДЗ ($5 \neq -\frac{10}{3}$ и $5 \neq -6$).

Ответ: 5

б)

Исходное уравнение: $ \frac{3x + 8}{7x - 3} - \frac{6x - 9}{14x + 44} = 0 $

ОДЗ:

$7x - 3 \neq 0 \implies 7x \neq 3 \implies x \neq \frac{3}{7}$

$14x + 44 \neq 0 \implies 14x \neq -44 \implies x \neq -\frac{44}{14} \implies x \neq -\frac{22}{7}$

Перенесем вторую дробь в правую часть:

$ \frac{3x + 8}{7x - 3} = \frac{6x - 9}{14x + 44} $

Применим перекрестное умножение:

$ (3x + 8)(14x + 44) = (6x - 9)(7x - 3) $

Раскроем скобки:

$ 42x^2 + 132x + 112x + 352 = 42x^2 - 18x - 63x + 27 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 42x^2 + 244x + 352 = 42x^2 - 81x + 27 $

Вычтем $42x^2$ из обеих частей:

$ 244x + 352 = -81x + 27 $

Перенесем слагаемые с $x$ влево, числа — вправо:

$ 244x + 81x = 27 - 352 $

$ 325x = -325 $

$ x = -1 $

Корень $x=-1$ удовлетворяет ОДЗ ($-1 \neq \frac{3}{7}$ и $-1 \neq -\frac{22}{7}$).

Ответ: -1

в)

Исходное уравнение: $ \frac{9x - 4}{3x + 7} - \frac{3x + 4}{x + 5} = 0 $

ОДЗ:

$3x + 7 \neq 0 \implies 3x \neq -7 \implies x \neq -\frac{7}{3}$

$x + 5 \neq 0 \implies x \neq -5$

Перенесем вторую дробь вправо:

$ \frac{9x - 4}{3x + 7} = \frac{3x + 4}{x + 5} $

Применим перекрестное умножение:

$ (9x - 4)(x + 5) = (3x + 4)(3x + 7) $

Раскроем скобки:

$ 9x^2 + 45x - 4x - 20 = 9x^2 + 21x + 12x + 28 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 9x^2 + 41x - 20 = 9x^2 + 33x + 28 $

Вычтем $9x^2$ из обеих частей:

$ 41x - 20 = 33x + 28 $

$ 41x - 33x = 28 + 20 $

$ 8x = 48 $

$ x = 6 $

Корень $x=6$ удовлетворяет ОДЗ ($6 \neq -\frac{7}{3}$ и $6 \neq -5$).

Ответ: 6

г)

Исходное уравнение: $ \frac{3x + 2}{7x - 17} - \frac{6x - 21}{14x + 16} = 0 $

ОДЗ:

$7x - 17 \neq 0 \implies 7x \neq 17 \implies x \neq \frac{17}{7}$

$14x + 16 \neq 0 \implies 14x \neq -16 \implies x \neq -\frac{16}{14} \implies x \neq -\frac{8}{7}$

Перенесем вторую дробь вправо:

$ \frac{3x + 2}{7x - 17} = \frac{6x - 21}{14x + 16} $

Применим перекрестное умножение:

$ (3x + 2)(14x + 16) = (6x - 21)(7x - 17) $

Раскроем скобки:

$ 42x^2 + 48x + 28x + 32 = 42x^2 - 102x - 147x + 357 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 42x^2 + 76x + 32 = 42x^2 - 249x + 357 $

Вычтем $42x^2$ из обеих частей:

$ 76x + 32 = -249x + 357 $

$ 76x + 249x = 357 - 32 $

$ 325x = 325 $

$ x = 1 $

Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 \neq \frac{17}{7}$ и $1 \neq -\frac{8}{7}$).

Ответ: 1