Номер 55, страница 369 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Рациональные уравнения. Задания для повторения - номер 55, страница 369.

55 a) $\frac{x^{17}-1}{1-x^{15}} = \frac{1-x^{15}}{x^{13}-1}$;

б) $\frac{1-x^{11}}{1-x^9} = \frac{1-x^9}{1-x^7}$.

a)

Исходное уравнение: $ \frac{x^{17} - 1}{1 - x^{15}} = \frac{1 - x^{15}}{x^{13} - 1} $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю:

$ 1 - x^{15} \neq 0 \implies x^{15} \neq 1 \implies x \neq 1 $.

$ x^{13} - 1 \neq 0 \implies x^{13} \neq 1 \implies x \neq 1 $.

Таким образом, ОДЗ: $ x \neq 1 $.

Применим свойство пропорции (перекрестное умножение):

$ (x^{17} - 1)(x^{13} - 1) = (1 - x^{15})(1 - x^{15}) $.

$ (x^{17} - 1)(x^{13} - 1) = (1 - x^{15})^2 $.

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$ x^{17} \cdot x^{13} - x^{17} \cdot 1 - 1 \cdot x^{13} + 1 \cdot 1 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot x^{15} + (x^{15})^2 $.

$ x^{30} - x^{17} - x^{13} + 1 = 1 - 2x^{15} + x^{30} $.

Сократим одинаковые члены ($x^{30}$ и 1) в обеих частях:

$ -x^{17} - x^{13} = -2x^{15} $.

Умножим обе части на -1 и перенесем все члены в одну сторону:

$ x^{17} + x^{13} = 2x^{15} $.

$ x^{17} - 2x^{15} + x^{13} = 0 $.

Вынесем общий множитель $x^{13}$ за скобки:

$ x^{13}(x^4 - 2x^2 + 1) = 0 $.

Выражение в скобках является формулой квадрата разности: $x^4 - 2x^2 + 1 = (x^2 - 1)^2$.

Получаем уравнение:

$ x^{13}(x^2 - 1)^2 = 0 $.

Это уравнение имеет решения, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $ x^{13} = 0 \implies x = 0 $.

2) $ (x^2 - 1)^2 = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 $ или $ x = -1 $.

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($ x \neq 1 $):

Корень $ x = 0 $ удовлетворяет ОДЗ. Подставим в исходное уравнение: $ \frac{-1}{1} = \frac{1}{-1} $, что верно.

Корень $ x = 1 $ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатели обращаются в ноль.

Корень $ x = -1 $ удовлетворяет ОДЗ. Проверим его подстановкой:

Левая часть: $ \frac{(-1)^{17} - 1}{1 - (-1)^{15}} = \frac{-1 - 1}{1 - (-1)} = \frac{-2}{2} = -1 $.

Правая часть: $ \frac{1 - (-1)^{15}}{(-1)^{13} - 1} = \frac{1 - (-1)}{-1 - 1} = \frac{2}{-2} = -1 $.

Поскольку $ -1 = -1 $, равенство верное.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $ x = 0; x = -1 $.

б)

Исходное уравнение: $ \frac{1 - x^{11}}{1 - x^9} = \frac{1 - x^9}{1 - x^7} $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю:

$ 1 - x^9 \neq 0 \implies x^9 \neq 1 \implies x \neq 1 $.

$ 1 - x^7 \neq 0 \implies x^7 \neq 1 \implies x \neq 1 $.

Таким образом, ОДЗ: $ x \neq 1 $.

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$ (1 - x^{11})(1 - x^7) = (1 - x^9)(1 - x^9) $.

$ (1 - x^{11})(1 - x^7) = (1 - x^9)^2 $.

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$ 1 \cdot 1 - 1 \cdot x^7 - x^{11} \cdot 1 + x^{11} \cdot x^7 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot x^9 + (x^9)^2 $.

$ 1 - x^7 - x^{11} + x^{18} = 1 - 2x^9 + x^{18} $.

Сократим одинаковые члены (1 и $x^{18}$) в обеих частях:

$ -x^7 - x^{11} = -2x^9 $.

Умножим обе части на -1 и перенесем все члены в одну сторону:

$ x^{11} + x^7 = 2x^9 $.

$ x^{11} - 2x^9 + x^7 = 0 $.

Вынесем общий множитель $x^7$ за скобки:

$ x^7(x^4 - 2x^2 + 1) = 0 $.

Выражение в скобках является формулой квадрата разности: $x^4 - 2x^2 + 1 = (x^2 - 1)^2$.

Получаем уравнение:

$ x^7(x^2 - 1)^2 = 0 $.

Это уравнение имеет решения, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $ x^7 = 0 \implies x = 0 $.

2) $ (x^2 - 1)^2 = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 $ или $ x = -1 $.

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($ x \neq 1 $):

Корень $ x = 0 $ удовлетворяет ОДЗ. Подставим в исходное уравнение: $ \frac{1}{1} = \frac{1}{1} $, что верно.

Корень $ x = 1 $ не удовлетворяет ОДЗ.

Корень $ x = -1 $ удовлетворяет ОДЗ. Проверим его подстановкой:

Левая часть: $ \frac{1 - (-1)^{11}}{1 - (-1)^9} = \frac{1 - (-1)}{1 - (-1)} = \frac{2}{2} = 1 $.

Правая часть: $ \frac{1 - (-1)^9}{1 - (-1)^7} = \frac{1 - (-1)}{1 - (-1)} = \frac{2}{2} = 1 $.

Поскольку $ 1 = 1 $, равенство верное.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $ x = 0; x = -1 $.