Номер 59, страница 369 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Рациональные уравнения. Задания для повторения - номер 59, страница 369.

59 a) $x^3 + 2x^2 - 5x - 10 = 0;$

B) $x^3 - 4x^2 + x - 4 = 0;$

б) $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0;$

Г) $2x^3 - 15x^2 + 34x - 24 = 0.$

а) $x^3 + 2x^2 - 5x - 10 = 0$

Сгруппируем члены уравнения, чтобы вынести общий множитель:

$(x^3 + 2x^2) - (5x + 10) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 2) - 5(x + 2) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x + 2)$ за скобки:

$(x + 2)(x^2 - 5) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум уравнениям:

1) $x + 2 = 0 \Rightarrow x_1 = -2$

2) $x^2 - 5 = 0 \Rightarrow x^2 = 5 \Rightarrow x_{2,3} = \pm\sqrt{5}$

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = \sqrt{5}, x_3 = -\sqrt{5}$.

б) $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0$

Сгруппируем члены уравнения:

$(x^3 - 3x^2) - (4x - 12) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 3) - 4(x - 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки:

$(x - 3)(x^2 - 4) = 0$

Множитель $(x^2 - 4)$ можно разложить по формуле разности квадратов: $(x-2)(x+2)$.

$(x - 3)(x - 2)(x + 2) = 0$

Приравнивая каждый множитель к нулю, находим корни:

1) $x - 3 = 0 \Rightarrow x_1 = 3$

2) $x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

3) $x + 2 = 0 \Rightarrow x_3 = -2$

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = 2, x_3 = -2$.

в) $x^3 - 4x^2 + x - 4 = 0$

Сгруппируем члены уравнения:

$(x^3 - 4x^2) + (x - 4) = 0$

Вынесем общий множитель из первой группы:

$x^2(x - 4) + 1(x - 4) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 4)$ за скобки:

$(x - 4)(x^2 + 1) = 0$

Получаем два случая:

1) $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$

2) $x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, уравнение имеет единственный действительный корень.

Ответ: $x = 4$.

г) $2x^3 - 15x^2 + 34x - 24 = 0$

Для решения этого уравнения применим теорему о рациональных корнях многочлена. Возможные рациональные корни имеют вид $\frac{p}{q}$, где $p$ — целый делитель свободного члена $(-24)$, а $q$ — натуральный делитель старшего коэффициента $(2)$.

Делители $p$: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$.

Делители $q$: $1, 2$.

Проверим некоторые из возможных корней подстановкой в уравнение. Обозначим многочлен как $P(x) = 2x^3 - 15x^2 + 34x - 24$.

Проверим $x = 2$:

$P(2) = 2(2)^3 - 15(2)^2 + 34(2) - 24 = 2 \cdot 8 - 15 \cdot 4 + 68 - 24 = 16 - 60 + 68 - 24 = 0$.

Так как $P(2) = 0$, то $x_1 = 2$ является корнем уравнения. Это означает, что многочлен $P(x)$ делится на $(x - 2)$ без остатка. Выполним деление многочлена на двучлен, например, по схеме Горнера или делением в столбик.

$(2x^3 - 15x^2 + 34x - 24) \div (x - 2) = 2x^2 - 11x + 12$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(x - 2)(2x^2 - 11x + 12) = 0$

Теперь решим получившееся квадратное уравнение $2x^2 - 11x + 12 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 12 = 121 - 96 = 25$.

Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{11 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{11 \pm 5}{4}$

$x_2 = \frac{11 + 5}{4} = \frac{16}{4} = 4$

$x_3 = \frac{11 - 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Следовательно, у исходного уравнения три действительных корня.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = 4, x_3 = \frac{3}{2}$.