Номер 58, страница 369 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Рациональные уравнения. Задания для повторения - номер 58, страница 369.

Решите уравнение (58–59):

58

а) $x^3 - 4x^2 + 6x - 3 = 0;$

б) $4x^3 + 3x^2 + 1 = 0;$

в) $2x^3 - 4x^2 - 3x + 6 = 0;$

г) $2x^4 - x^3 - 6x^2 + 3x = 0.$

а) $x^3 - 4x^2 + 6x - 3 = 0$

Данное уравнение является кубическим. Для нахождения его корней воспользуемся теоремой о рациональных корнях, согласно которой, если уравнение имеет рациональные корни, то они являются делителями свободного члена (-3). Возможные рациональные корни: $ \pm 1, \pm 3 $.

Проверим корень $x = 1$:

$1^3 - 4(1)^2 + 6(1) - 3 = 1 - 4 + 6 - 3 = 0$.

Поскольку равенство верное, $x = 1$ является корнем уравнения. Это значит, что многочлен в левой части уравнения делится на $(x - 1)$ без остатка.

Выполнив деление многочлена $x^3 - 4x^2 + 6x - 3$ на двучлен $(x - 1)$, получаем:

$(x^3 - 4x^2 + 6x - 3) \div (x - 1) = x^2 - 3x + 3$.

Таким образом, исходное уравнение можно переписать в виде произведения:

$(x - 1)(x^2 - 3x + 3) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $x - 1 = 0 \implies x = 1$.

2) $x^2 - 3x + 3 = 0$.

Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$.

Так как дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, у исходного уравнения есть только один действительный корень.

Ответ: $1$.

б) $4x^3 + 3x^2 + 1 = 0$

Это кубическое уравнение. Проверим наличие рациональных корней. Согласно теореме о рациональных корнях, возможные корни имеют вид $\frac{p}{q}$, где $p$ — делитель свободного члена (1), а $q$ — делитель старшего коэффициента (4). Возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}$.

Проверим корень $x = -1$:

$4(-1)^3 + 3(-1)^2 + 1 = 4(-1) + 3(1) + 1 = -4 + 3 + 1 = 0$.

Так как $x = -1$ является корнем, разделим многочлен $4x^3 + 3x^2 + 1$ на $(x + 1)$:

$(4x^3 + 3x^2 + 1) \div (x + 1) = 4x^2 - x + 1$.

Уравнение можно представить в виде:

$(x + 1)(4x^2 - x + 1) = 0$.

Рассмотрим два случая:

1) $x + 1 = 0 \implies x = -1$.

2) $4x^2 - x + 1 = 0$.

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 1 - 16 = -15$.

Поскольку $D < 0$, у этого квадратного уравнения нет действительных корней.

Таким образом, исходное уравнение имеет только один действительный корень.

Ответ: $-1$.

в) $2x^3 - 4x^2 - 3x + 6 = 0$

Для решения этого уравнения применим метод группировки слагаемых:

$(2x^3 - 4x^2) + (-3x + 6) = 0$.

Вынесем общие множители из каждой группы:

$2x^2(x - 2) - 3(x - 2) = 0$.

Теперь вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:

$(x - 2)(2x^2 - 3) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$.

2) $2x^2 - 3 = 0 \implies 2x^2 = 3 \implies x^2 = \frac{3}{2}$.

Отсюда находим еще два корня:

$x_{2,3} = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Уравнение имеет три действительных корня.

Ответ: $2; \frac{\sqrt{6}}{2}; -\frac{\sqrt{6}}{2}$.

г) $2x^4 - x^3 - 6x^2 + 3x = 0$

Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(2x^3 - x^2 - 6x + 3) = 0$.

Это уравнение распадается на два:

1) $x_1 = 0$.

2) $2x^3 - x^2 - 6x + 3 = 0$.

Решим второе кубическое уравнение методом группировки:

$(2x^3 - x^2) + (-6x + 3) = 0$.

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(2x - 1) - 3(2x - 1) = 0$.

Вынесем общий множитель $(2x - 1)$ за скобки:

$(2x - 1)(x^2 - 3) = 0$.

Это уравнение также распадается на два:

а) $2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{2}$.

б) $x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x_{3,4} = \pm \sqrt{3}$.

Собирая все найденные корни, получаем четыре решения.

Ответ: $0; \frac{1}{2}; \sqrt{3}; -\sqrt{3}$.