Номер 67, страница 370 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Системы уравнений - номер 67, страница 370.

Условие.

67 При каком наибольшем значении $a$ система уравнений

$$\begin{cases} x + ay = a + 1 \\ (a + 1)x + 2y = a + 2 \end{cases}$$

не имеет решений?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Рассмотрим данную систему линейных уравнений:

$$\begin{cases}x + ay = a + 1 \\(a+1)x + 2y = a + 2\end{cases}$$

Система из двух линейных уравнений с двумя переменными не имеет решений в том случае, если прямые, которые задаются этими уравнениями, параллельны и не совпадают. Для системы вида $$\begin{cases}A_1x + B_1y = C_1 \\A_2x + B_2y = C_2\end{cases}$$это условие записывается как пропорциональность коэффициентов при переменных и их непропорциональность свободным членам:

$$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$$

Для нашей системы коэффициенты имеют следующие значения:

$A_1 = 1$, $B_1 = a$, $C_1 = a + 1$

$A_2 = a + 1$, $B_2 = 2$, $C_2 = a + 2$

Запишем первую часть условия, которая соответствует параллельности прямых (пропорциональность коэффициентов при $x$ и $y$):

$$\frac{1}{a+1} = \frac{a}{2}$$

Данная пропорция определена при $a+1 \neq 0$, то есть $a \neq -1$. Применим основное свойство пропорции (перекрестное умножение):

$1 \cdot 2 = a \cdot (a+1)$

$2 = a^2 + a$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$a^2 + a - 2 = 0$

Корни этого уравнения можно найти по теореме Виета: произведение корней равно $-2$, а их сумма равна $-1$. Подбором находим корни: $a_1 = 1$ и $a_2 = -2$. Оба значения удовлетворяют условию $a \neq -1$.

Теперь для каждого найденного значения $a$ нужно проверить выполнение второй части условия, то есть неравенства, которое гарантирует, что прямые не совпадают. Проверим, что $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$.

При $a = 1$ проверяем неравенство:

$$\frac{1}{1+1} \neq \frac{1+1}{1+2} \implies \frac{1}{2} \neq \frac{2}{3}$$

Неравенство верно, значит, при $a = 1$ система не имеет решений.

При $a = -2$ проверяем неравенство:

$$\frac{1}{-2+1} \neq \frac{-2+1}{-2+2} \implies \frac{1}{-1} \neq \frac{-1}{0}$$

Выражение в правой части не определено, так как знаменатель равен нулю. Это означает, что равенство $\frac{A_1}{A_2} = \frac{C_1}{C_2}$ не выполняется. Следовательно, при $a = -2$ система также не имеет решений.

Мы получили два значения параметра $a$, при которых система не имеет решений: $a = 1$ и $a = -2$.

Согласно условию задачи, необходимо найти наибольшее из этих значений. Сравнивая $1$ и $-2$, делаем вывод, что наибольшее значение равно $1$.

Ответ: 1