Номер 67, страница 370 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Системы уравнений. Задания для повторения - номер 67, страница 370.
№67 (с. 370)
Условие. №67 (с. 370)
скриншот условия

67 При каком наибольшем значении $a$ система уравнений
$$\begin{cases} x + ay = a + 1 \\ (a + 1)x + 2y = a + 2 \end{cases}$$
не имеет решений?
Решение 1. №67 (с. 370)

Решение 2. №67 (с. 370)

Решение 3. №67 (с. 370)

Решение 5. №67 (с. 370)
Рассмотрим данную систему линейных уравнений:
$$\begin{cases}x + ay = a + 1 \\(a+1)x + 2y = a + 2\end{cases}$$
Система из двух линейных уравнений с двумя переменными не имеет решений в том случае, если прямые, которые задаются этими уравнениями, параллельны и не совпадают. Для системы вида $$\begin{cases}A_1x + B_1y = C_1 \\A_2x + B_2y = C_2\end{cases}$$это условие записывается как пропорциональность коэффициентов при переменных и их непропорциональность свободным членам:
$$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$$
Для нашей системы коэффициенты имеют следующие значения:
$A_1 = 1$, $B_1 = a$, $C_1 = a + 1$
$A_2 = a + 1$, $B_2 = 2$, $C_2 = a + 2$
Запишем первую часть условия, которая соответствует параллельности прямых (пропорциональность коэффициентов при $x$ и $y$):
$$\frac{1}{a+1} = \frac{a}{2}$$
Данная пропорция определена при $a+1 \neq 0$, то есть $a \neq -1$. Применим основное свойство пропорции (перекрестное умножение):
$1 \cdot 2 = a \cdot (a+1)$
$2 = a^2 + a$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$a^2 + a - 2 = 0$
Корни этого уравнения можно найти по теореме Виета: произведение корней равно $-2$, а их сумма равна $-1$. Подбором находим корни: $a_1 = 1$ и $a_2 = -2$. Оба значения удовлетворяют условию $a \neq -1$.
Теперь для каждого найденного значения $a$ нужно проверить выполнение второй части условия, то есть неравенства, которое гарантирует, что прямые не совпадают. Проверим, что $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$.
При $a = 1$ проверяем неравенство:
$$\frac{1}{1+1} \neq \frac{1+1}{1+2} \implies \frac{1}{2} \neq \frac{2}{3}$$
Неравенство верно, значит, при $a = 1$ система не имеет решений.
При $a = -2$ проверяем неравенство:
$$\frac{1}{-2+1} \neq \frac{-2+1}{-2+2} \implies \frac{1}{-1} \neq \frac{-1}{0}$$
Выражение в правой части не определено, так как знаменатель равен нулю. Это означает, что равенство $\frac{A_1}{A_2} = \frac{C_1}{C_2}$ не выполняется. Следовательно, при $a = -2$ система также не имеет решений.
Мы получили два значения параметра $a$, при которых система не имеет решений: $a = 1$ и $a = -2$.
Согласно условию задачи, необходимо найти наибольшее из этих значений. Сравнивая $1$ и $-2$, делаем вывод, что наибольшее значение равно $1$.
Ответ: 1
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 67 расположенного на странице 370 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №67 (с. 370), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.