Номер 83, страница 372 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Решение неравенств. Задания для повторения - номер 83, страница 372.

83 a) $(x - 1)(x + 4)(x + 5) > 0;$

б) $(x - 4)(x - 6)(x + 1) < 0;$

в) $(x + 3)(x - 4)(x - 1) > 0;$

г) $(x + 1)(x + 3)(x + 5) < 0;$

д) $(x^2 - 1)(x^2 + 4x + 4)(x + 5)^3 > 0;$

е) $(x^2 - 4)(x^2 - 5x + 6)(x + 1)^5 < 0;$

ж) $(x^2 + 3)(x^2 + 3x - 4)^3 (x - 1)^3 > 0;$

з) $(x^2 + 1)(x^2 + x + 1)^3 (x + 5)^5 < 0.$

а)

Решим неравенство $(x - 1)(x + 4)(x + 5) > 0$ методом интервалов.

1. Найдём корни выражения, приравняв его к нулю: $(x - 1)(x + 4)(x + 5) = 0$.
Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -4$, $x_3 = -5$.

2. Отметим корни на числовой оси в порядке возрастания: -5, -4, 1. Эти точки делят ось на четыре интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; -4)$, $(-4; 1)$, $(1; +\infty)$.

3. Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмём точку из крайнего правого интервала, например, $x=2$:
$(2 - 1)(2 + 4)(2 + 5) = 1 \cdot 6 \cdot 7 = 42 > 0$. Знак в интервале $(1; +\infty)$ — плюс.

4. Так как все корни имеют нечётную кратность (1), знаки в интервалах будут чередоваться: (+), (-), (+), (-).

Расставим знаки на интервалах: $(-\infty; -5) \rightarrow -$, $(-5; -4) \rightarrow +$, $(-4; 1) \rightarrow -$, $(1; +\infty) \rightarrow +$.

5. Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").

Это интервалы $(-5; -4)$ и $(1; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-5; -4) \cup (1; +\infty)$.

б)

Решим неравенство $(x - 4)(x - 6)(x + 1) < 0$ методом интервалов.

1. Корни выражения: $x_1 = 4$, $x_2 = 6$, $x_3 = -1$.

2. Отметим корни на числовой оси: -1, 4, 6. Интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 4)$, $(4; 6)$, $(6; +\infty)$.

3. Определим знак в крайнем правом интервале (например, $x=7$):
$(7 - 4)(7 - 6)(7 + 1) = 3 \cdot 1 \cdot 8 = 24 > 0$. Знак — плюс.

4. Все корни имеют нечётную кратность (1), знаки чередуются. Расставим знаки, двигаясь справа налево: (+), (-), (+), (-).

Знаки на интервалах: $(-\infty; -1) \rightarrow -$, $(-1; 4) \rightarrow +$, $(4; 6) \rightarrow -$, $(6; +\infty) \rightarrow +$.

5. Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-").

Это интервалы $(-\infty; -1)$ и $(4; 6)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (4; 6)$.

в)

Решим неравенство $(x + 3)(x - 4)(x - 1) > 0$ методом интервалов.

1. Корни выражения: $x_1 = -3$, $x_2 = 4$, $x_3 = 1$.

2. Отметим корни на числовой оси: -3, 1, 4. Интервалы: $(-\infty; -3)$, $(-3; 1)$, $(1; 4)$, $(4; +\infty)$.

3. Определим знак в крайнем правом интервале (например, $x=5$):
$(5 + 3)(5 - 4)(5 - 1) = 8 \cdot 1 \cdot 4 = 32 > 0$. Знак — плюс.

4. Все корни имеют нечётную кратность (1), знаки чередуются. Расставим знаки, двигаясь справа налево: (+), (-), (+), (-).

Знаки на интервалах: $(-\infty; -3) \rightarrow -$, $(-3; 1) \rightarrow +$, $(1; 4) \rightarrow -$, $(4; +\infty) \rightarrow +$.

5. Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").

Это интервалы $(-3; 1)$ и $(4; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-3; 1) \cup (4; +\infty)$.

г)

Решим неравенство $(x + 1)(x + 3)(x + 5) < 0$ методом интервалов.

1. Корни выражения: $x_1 = -1$, $x_2 = -3$, $x_3 = -5$.

2. Отметим корни на числовой оси: -5, -3, -1. Интервалы: $(-\infty; -5)$, $(-5; -3)$, $(-3; -1)$, $(-1; +\infty)$.

3. Определим знак в крайнем правом интервале (например, $x=0$):
$(0 + 1)(0 + 3)(0 + 5) = 1 \cdot 3 \cdot 5 = 15 > 0$. Знак — плюс.

4. Все корни имеют нечётную кратность (1), знаки чередуются. Расставим знаки, двигаясь справа налево: (+), (-), (+), (-).

Знаки на интервалах: $(-\infty; -5) \rightarrow -$, $(-5; -3) \rightarrow +$, $(-3; -1) \rightarrow -$, $(-1; +\infty) \rightarrow +$.

5. Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-").

Это интервалы $(-\infty; -5)$ и $(-3; -1)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-3; -1)$.

д)

Решим неравенство $(x^2 - 1)(x^2 + 4x + 4)(x + 5)^3 > 0$.

1. Разложим выражение на множители:
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$
$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$
Неравенство принимает вид: $(x - 1)(x + 1)(x + 2)^2(x + 5)^3 > 0$.

2. Найдём корни и их кратности: $x=1$ (кратность 1, нечётная), $x=-1$ (кратность 1, нечётная), $x=-2$ (кратность 2, чётная), $x=-5$ (кратность 3, нечётная). Знак множителя в нечётной степени совпадает со знаком основания.

3. Отметим корни на числовой оси: -5, -2, -1, 1.

4. Определим знаки на интервалах. Возьмём точку $x=2$: $(2-1)(2+1)(2+2)^2(2+5)^3 > 0$. Знак — плюс.

5. Двигаясь справа налево, меняем знак при переходе через корни нечётной кратности (-5, -1, 1) и не меняем при переходе через корень чётной кратности (-2).
$(1; +\infty) \rightarrow +$
$(-1; 1) \rightarrow -$ (смена знака в $x=1$)
$(-2; -1) \rightarrow +$ (смена знака в $x=-1$)
$(-5; -2) \rightarrow +$ (сохранение знака в $x=-2$)
$(-\infty; -5) \rightarrow -$ (смена знака в $x=-5$)

6. Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+"). Поскольку неравенство строгое, точка $x=-2$ не входит в решение.

Это интервалы $(-5; -2)$, $(-2; -1)$ и $(1; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-5; -2) \cup (-2; -1) \cup (1; +\infty)$.

е)

Решим неравенство $(x^2 - 4)(x^2 - 5x + 6)(x + 1)^5 < 0$.

1. Разложим выражение на множители:
$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$
$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ (корни 2 и 3)
Неравенство принимает вид: $(x - 2)(x + 2)(x - 2)(x - 3)(x + 1)^5 < 0$, что эквивалентно $(x - 2)^2(x + 2)(x - 3)(x + 1)^5 < 0$.

2. Корни и их кратности: $x=2$ (кратность 2, чётная), $x=-2$ (кратность 1, нечётная), $x=3$ (кратность 1, нечётная), $x=-1$ (кратность 5, нечётная).

3. Отметим корни на числовой оси: -2, -1, 2, 3.

4. Определим знаки на интервалах. Возьмём $x=4$: $(4-2)^2(4+2)(4-3)(4+1)^5 > 0$. Знак — плюс.

5. Двигаясь справа налево, чередуем знаки с учётом кратностей:
$(3; +\infty) \rightarrow +$
$(2; 3) \rightarrow -$ (смена знака в $x=3$)
$(-1; 2) \rightarrow -$ (сохранение знака в $x=2$)
$(-2; -1) \rightarrow +$ (смена знака в $x=-1$)
$(-\infty; -2) \rightarrow -$ (смена знака в $x=-2$)

6. Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-"). Поскольку неравенство строгое, точка $x=2$ не входит в решение.

Это интервалы $(-\infty; -2)$, $(-1; 2)$ и $(2; 3)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-1; 2) \cup (2; 3)$.

ж)

Решим неравенство $(x^2 + 3)(x^2 + 3x - 4)^3(x - 1)^3 > 0$.

1. Проанализируем множители:
Множитель $(x^2 + 3) > 0$ для любого $x$, так как $x^2 \ge 0$. На знак неравенства не влияет.
Разложим $x^2 + 3x - 4$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -4$. Значит, $x^2 + 3x - 4 = (x-1)(x+4)$.

2. Неравенство преобразуется к виду: $(x^2 + 3)((x - 1)(x + 4))^3(x - 1)^3 > 0$.
$(x^2 + 3)(x - 1)^3(x + 4)^3(x - 1)^3 > 0$
$(x^2 + 3)(x - 1)^6(x + 4)^3 > 0$.

3. Так как $(x^2+3) > 0$ и $(x-1)^6 \ge 0$, неравенство сводится к $(x+4)^3 > 0$ при условии $x-1 \neq 0$.
$(x+4)^3 > 0 \implies x+4 > 0 \implies x > -4$.
Условие $x-1 \neq 0$ означает $x \neq 1$.

4. Объединяя условия, получаем решение: $x$ должен быть больше -4, но не равен 1.

Ответ: $x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)$.

з)

Решим неравенство $(x^2 + 1)(x^2 + x + 1)^3(x + 5)^5 < 0$.

1. Проанализируем множители:
Множитель $(x^2 + 1) > 0$ для любого $x$. На знак не влияет.
Множитель $(x^2 + x + 1)$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, выражение $(x^2 + x + 1) > 0$ для любого $x$. Следовательно, и $(x^2 + x + 1)^3 > 0$ для любого $x$. На знак не влияет.

2. Так как первые два множителя всегда положительны, мы можем разделить на них обе части неравенства, знак при этом не изменится. Неравенство становится эквивалентным:
$(x + 5)^5 < 0$.

3. Неравенство $(x + 5)^5 < 0$ равносильно неравенству $x + 5 < 0$.

4. Решаем $x + 5 < 0 \implies x < -5$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5)$.