Номер 87, страница 372 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Решение неравенств. Задания для повторения - номер 87, страница 372.

87 a) $4x + 7 \le \frac{2}{x}$;

б) $\frac{1}{x - 1} > 1$;

в) $\frac{x + 1}{x - 1} > 3$;

г) $\frac{x}{2x - 1} < \frac{1}{3}$.

а) $4x+7 \le \frac{2}{x}$
Для решения данного неравенства перенесем все его члены в левую часть и приведем к общему знаменателю. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства: $x \ne 0$.
$4x + 7 - \frac{2}{x} \le 0$
$\frac{4x^2 + 7x - 2}{x} \le 0$
Теперь решим это неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $4x^2 + 7x - 2 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81$.
Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 9}{8}$.
$x_1 = \frac{-7 - 9}{8} = \frac{-16}{8} = -2$.
$x_2 = \frac{-7 + 9}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Нуль знаменателя: $x=0$.
Нанесем найденные точки на числовую ось. Точки $x=-2$ и $x=\frac{1}{4}$ будут закрашенными, так как неравенство нестрогое ($\le$), а точка $x=0$ будет выколотой, так как она обращает знаменатель в ноль.
Определим знаки выражения $\frac{4x^2 + 7x - 2}{x}$ на полученных интервалах:
- при $x > \frac{1}{4}$ (например, $x=1$): $\frac{4(1)^2+7(1)-2}{1} = 9 > 0$. Знак «+».
- при $0 < x < \frac{1}{4}$ (например, $x=0.1$): $\frac{4(0.01)+7(0.1)-2}{0.1} = \frac{-1.26}{0.1} < 0$. Знак «−».
- при $-2 < x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{4(-1)^2+7(-1)-2}{-1} = \frac{-5}{-1} = 5 > 0$. Знак «+».
- при $x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{4(-3)^2+7(-3)-2}{-3} = \frac{13}{-3} < 0$. Знак «−».
Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это $(-\infty; -2]$ и $(0; \frac{1}{4}]$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup (0; \frac{1}{4}]$.

б) $\frac{1}{x-1} > 1$
Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю. ОДЗ: $x \ne 1$.
$\frac{1}{x-1} - 1 > 0$
$\frac{1 - (x-1)}{x-1} > 0$
$\frac{1 - x + 1}{x-1} > 0$
$\frac{2 - x}{x-1} > 0$
Решаем методом интервалов. Нули числителя: $2-x=0 \Rightarrow x=2$. Нули знаменателя: $x-1=0 \Rightarrow x=1$.
Нанесем точки $x=1$ и $x=2$ на числовую ось. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое.
Определим знаки на интервалах:
- при $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{2-3}{3-1} = \frac{-1}{2} < 0$. Знак «−».
- при $1 < x < 2$ (например, $x=1.5$): $\frac{2-1.5}{1.5-1} = \frac{0.5}{0.5} > 0$. Знак «+».
- при $x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{2-0}{0-1} = -2 < 0$. Знак «−».
Нам нужен интервал, где выражение больше нуля. Это $(1; 2)$.
Ответ: $x \in (1; 2)$.

в) $\frac{x+1}{x-1} > 3$
Перенесем 3 в левую часть и приведем к общему знаменателю. ОДЗ: $x \ne 1$.
$\frac{x+1}{x-1} - 3 > 0$
$\frac{x+1 - 3(x-1)}{x-1} > 0$
$\frac{x+1 - 3x + 3}{x-1} > 0$
$\frac{4 - 2x}{x-1} > 0$
Решаем методом интервалов. Нули числителя: $4-2x=0 \Rightarrow x=2$. Нули знаменателя: $x-1=0 \Rightarrow x=1$.
Нанесем точки $x=1$ и $x=2$ на числовую ось. Обе точки выколотые.
Определим знаки на интервалах:
- при $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{4-2(3)}{3-1} = \frac{-2}{2} < 0$. Знак «−».
- при $1 < x < 2$ (например, $x=1.5$): $\frac{4-2(1.5)}{1.5-1} = \frac{1}{0.5} > 0$. Знак «+».
- при $x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{4-0}{0-1} = -4 < 0$. Знак «−».
Нам нужен интервал, где выражение больше нуля. Это $(1; 2)$.
Ответ: $x \in (1; 2)$.

г) $\frac{x}{2x-1} < \frac{1}{3}$
Перенесем $\frac{1}{3}$ в левую часть и приведем к общему знаменателю. ОДЗ: $2x-1 \ne 0 \Rightarrow x \ne \frac{1}{2}$.
$\frac{x}{2x-1} - \frac{1}{3} < 0$
$\frac{3x - (2x-1)}{3(2x-1)} < 0$
$\frac{3x - 2x + 1}{3(2x-1)} < 0$
$\frac{x+1}{3(2x-1)} < 0$
Решаем методом интервалов. Нули числителя: $x+1=0 \Rightarrow x=-1$. Нули знаменателя: $2x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$.
Нанесем точки $x=-1$ и $x=\frac{1}{2}$ на числовую ось. Обе точки выколотые.
Определим знаки на интервалах:
- при $x > \frac{1}{2}$ (например, $x=1$): $\frac{1+1}{3(2-1)} > 0$. Знак «+».
- при $-1 < x < \frac{1}{2}$ (например, $x=0$): $\frac{0+1}{3(0-1)} < 0$. Знак «−».
- при $x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{-2+1}{3(-4-1)} > 0$. Знак «+».
Нам нужен интервал, где выражение меньше нуля. Это $(-1; \frac{1}{2})$.
Ответ: $x \in (-1; \frac{1}{2})$.