Номер 11.56, страница 330 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.9*. Замена неизвестного t=sinx+cosx. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.56, страница 330.

Решите уравнение (11.56–11.58):

11.56 a) $2 \sin x \cos x + \sin x + \cos x = 1;$

б) $2 \sin x \cos x - \sin x - \cos x = 1;$

в) $2 \sin x \cos x + \sin x - \cos x = 3;$

г) $2 \sin x \cos x - \sin x + \cos x = -1.$

а)

Исходное уравнение: $2 \sin x \cos x + \sin x + \cos x = 1$.

Данный тип уравнений решается с помощью введения новой переменной. Пусть $t = \sin x + \cos x$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат: $t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем: $t^2 = 1 + 2 \sin x \cos x$.

Отсюда выразим $2 \sin x \cos x = t^2 - 1$.

Подставим выражения для $t$ и $t^2-1$ в исходное уравнение:

$(t^2 - 1) + t = 1$

$t^2 + t - 2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем его корни, например, по теореме Виета: $t_1 + t_2 = -1$, $t_1 \cdot t_2 = -2$. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Теперь необходимо учесть область значений для $t = \sin x + \cos x$. Преобразуем это выражение: $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} \sin x + \sin \frac{\pi}{4} \cos x) = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$.

Поскольку $-1 \le \sin(x + \frac{\pi}{4}) \le 1$, то область значений для $t$ есть отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Сравним найденные корни $t$ с этой областью значений:

$t_1 = 1$ принадлежит отрезку $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$, так как $-\sqrt{2} \approx -1.414$ и $\sqrt{2} \approx 1.414$.

$t_2 = -2$ не принадлежит этому отрезку, следовательно, это посторонний корень.

Возвращаемся к исходной переменной $x$ для $t=1$:

$\sin x + \cos x = 1$

$\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1$

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение имеет две серии решений:

1) $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi k, \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

б)

Исходное уравнение: $2 \sin x \cos x - \sin x - \cos x = 1$.

Перепишем его как $2 \sin x \cos x - (\sin x + \cos x) = 1$.

Сделаем ту же замену, что и в пункте а): $t = \sin x + \cos x$, откуда $2 \sin x \cos x = t^2 - 1$. Область значений для $t$ – $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Подставим в уравнение:

$(t^2 - 1) - t = 1$

$t^2 - t - 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Проверим корни на принадлежность области значений $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$:

$t_1 = 2$ не принадлежит отрезку (посторонний корень).

$t_2 = -1$ принадлежит отрезку.

Возвращаемся к переменной $x$ для $t = -1$:

$\sin x + \cos x = -1$

$\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -1$

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

Получаем две серии решений:

1) $x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $x + \frac{\pi}{4} = \pi - (-\frac{\pi}{4}) + 2\pi k \implies x + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

в)

Исходное уравнение: $2 \sin x \cos x + \sin x - \cos x = 3$.

В этом уравнении присутствует разность $\sin x - \cos x$. Сделаем замену $u = \sin x - \cos x$.

Возведем в квадрат: $u^2 = (\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 - 2 \sin x \cos x$.

Отсюда $2 \sin x \cos x = 1 - u^2$.

Подставим в исходное уравнение:

$(1 - u^2) + u = 3$

$-u^2 + u - 2 = 0$

$u^2 - u + 2 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7$.

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней для $u$. Следовательно, исходное уравнение также не имеет решений.

Ответ: решений нет.

г)

Исходное уравнение: $2 \sin x \cos x - \sin x + \cos x = -1$.

Перепишем его как $2 \sin x \cos x - (\sin x - \cos x) = -1$.

Используем замену из пункта в): $u = \sin x - \cos x$, откуда $2 \sin x \cos x = 1 - u^2$.

Область значений для $u = \sin x - \cos x = \sqrt{2}\sin(x - \frac{\pi}{4})$ также является отрезком $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Подставим в уравнение:

$(1 - u^2) - u = -1$

$-u^2 - u + 2 = 0$

$u^2 + u - 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $u_1 = 1$ и $u_2 = -2$.

Проверим корни на принадлежность области значений $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$:

$u_1 = 1$ принадлежит отрезку.

$u_2 = -2$ не принадлежит отрезку (посторонний корень).

Возвращаемся к переменной $x$ для $u = 1$:

$\sin x - \cos x = 1$

$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = 1$

$\sqrt{2}\sin(x - \frac{\pi}{4}) = 1$

$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Получаем две серии решений:

1) $x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $x - \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.