Номер 11.52, страница 326 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
11.8*. Введение вспомогательного угла. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.52, страница 326.
№11.52 (с. 326)
Условие. №11.52 (с. 326)
скриншот условия


Решите неравенство (11.52–11.54):
11.52* a) $\sin x + \cos x > -\sqrt{2}$;
б) $\sin x - \cos x < \sqrt{2}$;
в) $\sin x + \cos x > -\frac{\sqrt{2}}{2}$;
г) $\sin x - \cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$;
д) $\sin x + \sqrt{3} \cos x > 1$;
e) $\sin x - \sqrt{3} \cos x < -1$;
ж) $3 \sin x - 4 \cos x > 0$;
з) $5 \sin x - 12 \cos x < 0$.
Решение 1. №11.52 (с. 326)








Решение 2. №11.52 (с. 326)

Решение 3. №11.52 (с. 326)


Решение 4. №11.52 (с. 326)


Решение 5. №11.52 (с. 326)
а) $\sin x + \cos x > -\sqrt{2}$
Для решения неравенств вида $a \sin x + b \cos x > c$ применяется метод введения вспомогательного угла. Преобразуем левую часть неравенства. Умножим и разделим ее на $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$:
$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x) > -\sqrt{2}$
Заметим, что $\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos(\frac{\pi}{4})$ и $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin(\frac{\pi}{4})$. Используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$, получаем:
$\sqrt{2}(\sin x \cos(\frac{\pi}{4}) + \cos x \sin(\frac{\pi}{4})) > -\sqrt{2}$
$\sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) > -\sqrt{2}$
Разделим обе части на $\sqrt{2}$:
$\sin(x + \frac{\pi}{4}) > -1$
Поскольку область значений функции синус – это отрезок $[-1, 1]$, неравенство $\sin(t) > -1$ выполняется для всех значений $t$, при которых $\sin(t) \neq -1$.
Равенство $\sin(t) = -1$ достигается при $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $t = x + \frac{\pi}{4}$, поэтому $x + \frac{\pi}{4} \neq -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$.
$x \neq -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$x \neq -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Таким образом, решением неравенства являются все действительные числа, кроме указанных точек.
Ответ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \mid k \in \mathbb{Z}\}$.
б) $\sin x - \cos x < \sqrt{2}$
Используем метод вспомогательного угла. Коэффициент при $\sin x$ равен 1, при $\cos x$ равен -1. Вынесем за скобки множитель $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$:
$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x) < \sqrt{2}$
Поскольку $\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos(\frac{\pi}{4})$ и $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin(\frac{\pi}{4})$, преобразуем выражение в скобках по формуле синуса разности $\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$:
$\sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4}) < \sqrt{2}$
Разделим обе части на $\sqrt{2}$:
$\sin(x - \frac{\pi}{4}) < 1$
Область значений функции синус $[-1, 1]$, поэтому неравенство $\sin(t) < 1$ выполняется для всех $t$, при которых $\sin(t) \neq 1$.
Равенство $\sin(t) = 1$ достигается при $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $t = x - \frac{\pi}{4}$, поэтому $x - \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.
$x \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$x \neq \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \mid k \in \mathbb{Z}\}$.
в) $\sin x + \cos x > -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Преобразуем левую часть с помощью метода вспомогательного угла. Вынесем за скобки $\sqrt{2}$:
$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x) > -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) > -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Разделим обе части на $\sqrt{2}$:
$\sin(x + \frac{\pi}{4}) > -\frac{1}{2}$
Пусть $t = x + \frac{\pi}{4}$. Решим неравенство $\sin t > -\frac{1}{2}$.
Решениями уравнения $\sin t = -\frac{1}{2}$ являются $t = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $t = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$.
С помощью единичной окружности находим, что $\sin t > -\frac{1}{2}$ при $t \in (-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{7\pi}{6} + 2\pi k)$.
Возвращаемся к переменной $x$:
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x + \frac{\pi}{4} < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$
$-\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$-\frac{2\pi+3\pi}{12} + 2\pi k < x < \frac{14\pi-3\pi}{12} + 2\pi k$
$-\frac{5\pi}{12} + 2\pi k < x < \frac{11\pi}{12} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (-\frac{5\pi}{12} + 2\pi k, \frac{11\pi}{12} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.
г) $\sin x - \cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$
Преобразуем левую часть с помощью метода вспомогательного угла:
$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x) > \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4}) > \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin(x - \frac{\pi}{4}) > \frac{1}{2}$
Пусть $t = x - \frac{\pi}{4}$. Решим неравенство $\sin t > \frac{1}{2}$.
Решениями уравнения $\sin t = \frac{1}{2}$ являются $t = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.
Неравенство $\sin t > \frac{1}{2}$ выполняется при $t \in (\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k)$.
Возвращаемся к переменной $x$:
$\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x - \frac{\pi}{4} < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$
$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$\frac{2\pi+3\pi}{12} + 2\pi k < x < \frac{10\pi+3\pi}{12} + 2\pi k$
$\frac{5\pi}{12} + 2\pi k < x < \frac{13\pi}{12} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (\frac{5\pi}{12} + 2\pi k, \frac{13\pi}{12} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.
д) $\sin x + \sqrt{3} \cos x > 1$
Используем метод вспомогательного угла. Вынесем за скобки множитель $\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$:
$2(\frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x) > 1$
Так как $\frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3})$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(\frac{\pi}{3})$, получаем:
$2 \sin(x + \frac{\pi}{3}) > 1$
$\sin(x + \frac{\pi}{3}) > \frac{1}{2}$
Решение этого неравенства (аналогично пункту г)):
$\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x + \frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$
$\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{6} + 2\pi k$
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.
е) $\sin x - \sqrt{3} \cos x < -1$
Используем метод вспомогательного угла. Вынесем за скобки множитель $\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2$:
$2(\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x) < -1$
$2 \sin(x - \frac{\pi}{3}) < -1$
$\sin(x - \frac{\pi}{3}) < -\frac{1}{2}$
Пусть $t = x - \frac{\pi}{3}$. Решим неравенство $\sin t < -\frac{1}{2}$.
Неравенство выполняется при $t \in (-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, -\frac{\pi}{6} + 2\pi k)$.
Возвращаемся к переменной $x$:
$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x - \frac{\pi}{3} < -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$-\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$-\frac{3\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{6} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.
ж) $3 \sin x - 4 \cos x > 0$
Используем метод вспомогательного угла. Вынесем за скобки множитель $\sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{25} = 5$:
$5(\frac{3}{5} \sin x - \frac{4}{5} \cos x) > 0$
Введем вспомогательный угол $\phi$ такой, что $\cos \phi = \frac{3}{5}$ и $\sin \phi = \frac{4}{5}$. Такой угол существует, так как $(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2 = 1$. Например, $\phi = \arccos(\frac{3}{5})$.
Неравенство принимает вид:
$5(\sin x \cos \phi - \cos x \sin \phi) > 0$
$\sin(x - \phi) > 0$
Решением неравенства $\sin t > 0$ является интервал $t \in (2\pi k, \pi + 2\pi k)$.
Следовательно:
$2\pi k < x - \phi < \pi + 2\pi k$
$\phi + 2\pi k < x < \pi + \phi + 2\pi k$
Подставляя значение $\phi$:
$\arccos(\frac{3}{5}) + 2\pi k < x < \pi + \arccos(\frac{3}{5}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (\arccos(\frac{3}{5}) + 2\pi k, \pi + \arccos(\frac{3}{5}) + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.
з) $5 \sin x - 12 \cos x < 0$
Используем метод вспомогательного угла. Вынесем за скобки множитель $\sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{169} = 13$:
$13(\frac{5}{13} \sin x - \frac{12}{13} \cos x) < 0$
Введем вспомогательный угол $\phi$ такой, что $\cos \phi = \frac{5}{13}$ и $\sin \phi = \frac{12}{13}$. Например, $\phi = \arccos(\frac{5}{13})$.
Неравенство принимает вид:
$13(\sin x \cos \phi - \cos x \sin \phi) < 0$
$\sin(x - \phi) < 0$
Решением неравенства $\sin t < 0$ является интервал $t \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, что эквивалентно $t \in (-\pi + 2\pi k, 2\pi k)$.
Используем второй вариант записи:
$-\pi + 2\pi k < x - \phi < 2\pi k$
$\phi - \pi + 2\pi k < x < \phi + 2\pi k$
Подставляя значение $\phi$:
$\arccos(\frac{5}{13}) - \pi + 2\pi k < x < \arccos(\frac{5}{13}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (\arccos(\frac{5}{13}) - \pi + 2\pi k, \arccos(\frac{5}{13}) + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 11.52 расположенного на странице 326 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.52 (с. 326), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.