Номер 11.48, страница 326 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.8*. Введение вспомогательного угла. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.48, страница 326.

Решите уравнение (11.48–11.51):

11.48

a) $ \sin x + \cos x = \sqrt{2}; $

б) $ \sin x - \cos x = -\sqrt{2}; $

в) $ \sin x + \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}; $

г) $ \sin x - \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}; $

д) $ \sin x - \sqrt{3} \cos x = 1; $

е) $ \sqrt{3} \sin x - \cos x = -1; $

ж) $ \sin x + \sqrt{3} \cos x = \sqrt{3}; $

з) $ \sqrt{3} \sin x + \cos x = -\sqrt{3}. $

а) $\sin x + \cos x = \sqrt{2}$

Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$. Для его решения используем метод введения вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = 1$
Заметим, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим эти значения в уравнение:
$\sin x \cos(\frac{\pi}{4}) + \cos x \sin(\frac{\pi}{4}) = 1$
Применяем формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$:
$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1$
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:
$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin x - \cos x = -\sqrt{2}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = -1$
$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = -1$
Заменяя $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\cos(\frac{\pi}{4})$ и $\sin(\frac{\pi}{4})$:
$\sin x \cos(\frac{\pi}{4}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{4}) = -1$
Применяем формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$:
$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = -1$
Решение имеет вид:
$x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) $\sin x + \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$
$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{1}{2}$
$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$
Общее решение:
$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi k = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$.
Это дает две серии решений:
1. При $k=2n$: $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{3\pi - 2\pi}{12} + 2\pi n = -\frac{\pi}{12} + 2\pi n$.
2. При $k=2n+1$: $x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + (2n+1)\pi = -\frac{5\pi}{12} + \pi + 2\pi n = \frac{7\pi}{12} + 2\pi n$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi n$; $x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

г) $\sin x - \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$
$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = -\frac{1}{2}$
$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2}$
Общее решение:
$x - \frac{\pi}{4} = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{4} + (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$.
Две серии решений:
1. При $k=2n$ (k+1 нечетное): $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{3\pi - 2\pi}{12} + 2\pi n = \frac{\pi}{12} + 2\pi n$.
2. При $k=2n+1$ (k+1 четное): $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + (2n+1)\pi = \frac{5\pi}{12} + \pi + 2\pi n = \frac{17\pi}{12} + 2\pi n$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + 2\pi n$; $x = \frac{17\pi}{12} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

д) $\sin x - \sqrt{3} \cos x = 1$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$:
$\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = \frac{1}{2}$
Так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$\sin x \cos(\frac{\pi}{3}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
$\sin(x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
$x - \frac{\pi}{3} = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Две серии решений:
1. При $k=2n$: $x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.
2. При $k=2n+1$: $x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + (2n+1)\pi = \frac{\pi}{6} + \pi + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$; $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

е) $\sqrt{3} \sin x - \cos x = -1$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = 2$:
$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x - \frac{1}{2} \cos x = -\frac{1}{2}$
Так как $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:
$\sin x \cos(\frac{\pi}{6}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$
$\sin(x - \frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$
$x - \frac{\pi}{6} = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Две серии решений:
1. При $k=2n$: $x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = 2\pi n$.
2. При $k=2n+1$: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + (2n+1)\pi = \frac{\pi}{3} + \pi + 2\pi n = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$.

Ответ: $x = 2\pi n$; $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

ж) $\sin x + \sqrt{3} \cos x = \sqrt{3}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$:
$\frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Используя $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$\sin x \cos(\frac{\pi}{3}) + \cos x \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$x + \frac{\pi}{3} = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Две серии решений:
1. При $k=2n$: $x = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n = 2\pi n$.
2. При $k=2n+1$: $x = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + (2n+1)\pi = -\frac{2\pi}{3} + \pi + 2\pi n = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Ответ: $x = 2\pi n$; $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

з) $\sqrt{3} \sin x + \cos x = -\sqrt{3}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2$:
$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Используя $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$:
$\sin x \cos(\frac{\pi}{6}) + \cos x \sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin(x + \frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$x + \frac{\pi}{6} = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Две серии решений:
1. При $k=2n$: $x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = -\frac{3\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$.
2. При $k=2n+1$: $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + (2n+1)\pi = \frac{\pi}{6} + \pi + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$; $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.