Номер 11.41, страница 318 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. 11.6*. Простейшие неравенства для тангенса и котангенса - номер 11.41, страница 318.

Условие.

11.41 а) $ctg x > 1$;

б) $ctg x > \sqrt{3}$;

в) $ctg x > \frac{\sqrt{3}}{3}$;

г) $ctg x > -1$;

д) $ctg x > -\sqrt{3}$;

е) $ctg x > -\frac{\sqrt{3}}{3}$;

ж) $ctg x < 1$;

з) $ctg x < \sqrt{3}$;

и) $ctg x < \frac{\sqrt{3}}{3}$;

к) $ctg x < -1$;

л) $ctg x < -\sqrt{3}$;

м) $ctg x < -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $ctg(x) > 1$

Решением неравенства вида $ctg(x) > a$ является интервал $(\pi n; arcctg(a) + \pi n)$, где $n \in Z$. Функция $ctg(x)$ определена при $x \neq \pi n$.

Найдем значение арккотангенса: $arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$.

Подставляя это значение в общую формулу решения, получаем:

$\pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$.

Ответ: $(\pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n), n \in Z$.

б) $ctg(x) > \sqrt{3}$

Используем общую формулу для решения неравенства $ctg(x) > a$: $(\pi n; arcctg(a) + \pi n), n \in Z$.

Найдем значение арккотангенса: $arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляя, получаем: $\pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z$.

Ответ: $(\pi n; \frac{\pi}{6} + \pi n), n \in Z$.

в) $ctg(x) > \frac{\sqrt{3}}{3}$

Используем общую формулу для решения неравенства $ctg(x) > a$: $(\pi n; arcctg(a) + \pi n), n \in Z$.

Найдем значение арккотангенса: $arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляя, получаем: $\pi n < x < \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z$.

Ответ: $(\pi n; \frac{\pi}{3} + \pi n), n \in Z$.

г) $ctg(x) > -1$

Используем общую формулу для решения неравенства $ctg(x) > a$: $(\pi n; arcctg(a) + \pi n), n \in Z$.

Найдем значение арккотангенса: $arcctg(-1) = \pi - arcctg(1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Подставляя, получаем: $\pi n < x < \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in Z$.

Ответ: $(\pi n; \frac{3\pi}{4} + \pi n), n \in Z$.

д) $ctg(x) > -\sqrt{3}$

Используем общую формулу для решения неравенства $ctg(x) > a$: $(\pi n; arcctg(a) + \pi n), n \in Z$.

Найдем значение арккотангенса: $arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - arcctg(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Подставляя, получаем: $\pi n < x < \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in Z$.

Ответ: $(\pi n; \frac{5\pi}{6} + \pi n), n \in Z$.

е) $ctg(x) > -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Используем общую формулу для решения неравенства $ctg(x) > a$: $(\pi n; arcctg(a) + \pi n), n \in Z$.

Найдем значение арккотангенса: $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Подставляя, получаем: $\pi n < x < \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in Z$.

Ответ: $(\pi n; \frac{2\pi}{3} + \pi n), n \in Z$.

ж) $ctg(x) < 1$

Решением неравенства вида $ctg(x) < a$ является интервал $(arcctg(a) + \pi n; \pi + \pi n)$, где $n \in Z$.

Найдем значение арккотангенса: $arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$.

Подставляя это значение в общую формулу решения, получаем:

$\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \pi + \pi n, n \in Z$.

Ответ: $(\frac{\pi}{4} + \pi n; \pi + \pi n), n \in Z$.

з) $ctg(x) < \sqrt{3}$

Используем общую формулу для решения неравенства $ctg(x) < a$: $(arcctg(a) + \pi n; \pi + \pi n), n \in Z$.

Найдем значение арккотангенса: $arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляя, получаем: $\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \pi + \pi n, n \in Z$.

Ответ: $(\frac{\pi}{6} + \pi n; \pi + \pi n), n \in Z$.

и) $ctg(x) < \frac{\sqrt{3}}{3}$

Используем общую формулу для решения неравенства $ctg(x) < a$: $(arcctg(a) + \pi n; \pi + \pi n), n \in Z$.

Найдем значение арккотангенса: $arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляя, получаем: $\frac{\pi}{3} + \pi n < x < \pi + \pi n, n \in Z$.

Ответ: $(\frac{\pi}{3} + \pi n; \pi + \pi n), n \in Z$.

к) $ctg(x) < -1$

Используем общую формулу для решения неравенства $ctg(x) < a$: $(arcctg(a) + \pi n; \pi + \pi n), n \in Z$.

Найдем значение арккотангенса: $arcctg(-1) = \frac{3\pi}{4}$.

Подставляя, получаем: $\frac{3\pi}{4} + \pi n < x < \pi + \pi n, n \in Z$.

Ответ: $(\frac{3\pi}{4} + \pi n; \pi + \pi n), n \in Z$.

л) $ctg(x) < -\sqrt{3}$

Используем общую формулу для решения неравенства $ctg(x) < a$: $(arcctg(a) + \pi n; \pi + \pi n), n \in Z$.

Найдем значение арккотангенса: $arcctg(-\sqrt{3}) = \frac{5\pi}{6}$.

Подставляя, получаем: $\frac{5\pi}{6} + \pi n < x < \pi + \pi n, n \in Z$.

Ответ: $(\frac{5\pi}{6} + \pi n; \pi + \pi n), n \in Z$.

м) $ctg(x) < -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Используем общую формулу для решения неравенства $ctg(x) < a$: $(arcctg(a) + \pi n; \pi + \pi n), n \in Z$.

Найдем значение арккотангенса: $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2\pi}{3}$.

Подставляя, получаем: $\frac{2\pi}{3} + \pi n < x < \pi + \pi n, n \in Z$.

Ответ: $(\frac{2\pi}{3} + \pi n; \pi + \pi n), n \in Z$.