Номер 11.35, страница 315 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.5*. Простейшие неравенства для синуса и косинуса. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.35, страница 315.

11.35 a) $ \sin x > \frac{2}{3} $;

б) $ \sin x > -\frac{2}{3} $;

в) $ \sin x > -0,4 $;

г) $ \sin x < \frac{2}{3} $;

д) $ \sin x < -\frac{2}{3} $;

е) $ \sin x < 0,4 $.

а) Для решения неравенства $\sin x > \frac{2}{3}$ рассмотрим единичную окружность. Сначала найдем углы, для которых $\sin x = \frac{2}{3}$. Этими углами являются $x_1 = \arcsin(\frac{2}{3})$ (в первой четверти) и $x_2 = \pi - \arcsin(\frac{2}{3})$ (во второй четверти). Неравенству $\sin x > \frac{2}{3}$ соответствуют точки на единичной окружности, ордината которых больше $\frac{2}{3}$. Эти точки образуют дугу, заключенную между точками, соответствующими углам $x_1$ и $x_2$. Двигаясь по окружности против часовой стрелки от $x_1$ к $x_2$, получаем интервал $(\arcsin(\frac{2}{3}); \pi - \arcsin(\frac{2}{3}))$. Учитывая периодичность синуса (период $2\pi$), общее решение неравенства имеет вид:
Ответ: $\arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi k < x < \pi - \arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим неравенство $\sin x > -\frac{2}{3}$. Найдем углы, для которых $\sin x = -\frac{2}{3}$. Это $x_1 = \arcsin(-\frac{2}{3}) = -\arcsin(\frac{2}{3})$ (в четвертой четверти) и $x_2 = \pi - \arcsin(-\frac{2}{3}) = \pi + \arcsin(\frac{2}{3})$ (в третьей четверти). Нам нужны точки на единичной окружности, ордината которых больше $-\frac{2}{3}$. Эти точки образуют большую дугу, которая начинается от угла $x_1$ и идет против часовой стрелки до угла $x_2$. Таким образом, решение для одного периода: $-\arcsin(\frac{2}{3}) < x < \pi + \arcsin(\frac{2}{3})$. Общее решение с учетом периода:
Ответ: $-\arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi k < x < \pi + \arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Неравенство $\sin x > -0,4$ решается аналогично предыдущему. Граничные точки находятся из уравнения $\sin x = -0,4$. Это $x_1 = \arcsin(-0,4) = -\arcsin(0,4)$ и $x_2 = \pi - \arcsin(-0,4) = \pi + \arcsin(0,4)$. Неравенству удовлетворяют точки на единичной окружности, лежащие выше прямой $y = -0,4$. Это соответствует интервалу от $x_1$ до $x_2$ при движении против часовой стрелки. Общее решение:
Ответ: $-\arcsin(0,4) + 2\pi k < x < \pi + \arcsin(0,4) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Для решения неравенства $\sin x < \frac{2}{3}$ снова обратимся к единичной окружности. Граничные точки, где $\sin x = \frac{2}{3}$, это $x_1 = \arcsin(\frac{2}{3})$ и $x_2 = \pi - \arcsin(\frac{2}{3})$. Нам нужны точки, ордината которых меньше $\frac{2}{3}$. Это большая дуга, идущая от точки $x_2$ против часовой стрелки к точке $x_1$ следующего оборота. Интервал для одного периода можно записать как $(\pi - \arcsin(\frac{2}{3}); 2\pi + \arcsin(\frac{2}{3}))$. Добавляя период $2\pi k$, получаем общее решение:
Ответ: $\pi - \arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi k < x < 2\pi + \arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

д) Решим неравенство $\sin x < -\frac{2}{3}$. Граничные точки, где $\sin x = -\frac{2}{3}$, находятся в третьей и четвертой четвертях. Угол в третьей четверти равен $\pi + \arcsin(\frac{2}{3})$, а угол в четвертой четверти можно представить как $2\pi - \arcsin(\frac{2}{3})$. Неравенству $\sin x < -\frac{2}{3}$ соответствуют точки на единичной окружности, лежащие ниже прямой $y = -\frac{2}{3}$. Это дуга, заключенная между углами $\pi + \arcsin(\frac{2}{3})$ и $2\pi - \arcsin(\frac{2}{3})$. Таким образом, общее решение:
Ответ: $\pi + \arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi k < x < 2\pi - \arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

е) Неравенство $\sin x < 0,4$ решается аналогично пункту г). Граничные точки для $\sin x = 0,4$ это $x_1 = \arcsin(0,4)$ и $x_2 = \pi - \arcsin(0,4)$. Нам нужны точки на единичной окружности, лежащие ниже прямой $y = 0,4$. Это соответствует большой дуге, идущей от $x_2$ к $x_1$ следующего оборота. Таким образом, общее решение имеет вид:
Ответ: $\pi - \arcsin(0,4) + 2\pi k < x < 2\pi + \arcsin(0,4) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.