Номер 11.30, страница 310 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. 11.4. Однородные уравнения - номер 11.30, страница 310.

Условие.

11.30* а) $\sin^3 x - 2 \sin^2 x \cos x - \sin x \cos^2 x + 2 \cos^3 x = 0;$

б) $\sin^3 x - \sin^2 x \cos x - 3 \sin x \cos^2 x + 3 \cos^3 x = 0;$

в) $\sin^3 x - 7 \sin x \cos^2 x - 6 \cos^3 x = 0;$

г) $\sin^3 x - 7 \sin x \cos^2 x + 6 \cos^3 x = 0;$

д) $\sin^3 x + \sin^2 x \cos x - 10 \sin x \cos^2 x + 8 \cos^3 x = 0;$

е) $\sin^3 x + 2 \sin^2 x \cos x - 5 \sin x \cos^2 x - 6 \cos^3 x = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Данное уравнение $\sin^3 x - 2 \sin^2 x \cos x - \sin x \cos^2 x + 2 \cos^3 x = 0$ является однородным тригонометрическим уравнением третьей степени.

Проверим, могут ли быть решения при $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставив $\cos x = 0$ в уравнение, получим $\sin^3 x = 0$, то есть $\sin x = 0$. Это противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos^3 x \neq 0$:
$\frac{\sin^3 x}{\cos^3 x} - 2\frac{\sin^2 x \cos x}{\cos^3 x} - \frac{\sin x \cos^2 x}{\cos^3 x} + 2\frac{\cos^3 x}{\cos^3 x} = 0$
$\tan^3 x - 2\tan^2 x - \tan x + 2 = 0$

Введем замену $t = \tan x$:
$t^3 - 2t^2 - t + 2 = 0$
Разложим левую часть на множители методом группировки:
$t^2(t - 2) - (t - 2) = 0$
$(t^2 - 1)(t - 2) = 0$
$(t - 1)(t + 1)(t - 2) = 0$

Отсюда находим корни для $t$: $t_1 = 1$, $t_2 = -1$, $t_3 = 2$.

Выполним обратную замену:
1) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
2) $\tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
3) $\tan x = 2 \implies x = \arctan(2) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi n$; $-\frac{\pi}{4} + \pi k$; $\arctan(2) + \pi m$, где $n, k, m \in \mathbb{Z}$.

б)

Уравнение $\sin^3 x - \sin^2 x \cos x - 3 \sin x \cos^2 x + 3 \cos^3 x = 0$ является однородным. Аналогично пункту а), $\cos x \neq 0$. Разделим уравнение на $\cos^3 x$:

$\tan^3 x - \tan^2 x - 3\tan x + 3 = 0$

Пусть $t = \tan x$:
$t^3 - t^2 - 3t + 3 = 0$
$t^2(t - 1) - 3(t - 1) = 0$
$(t^2 - 3)(t - 1) = 0$

Корни для $t$: $t_1 = 1$, $t_2 = \sqrt{3}$, $t_3 = -\sqrt{3}$.

Обратная замена:
1) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
2) $\tan x = \sqrt{3} \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
3) $\tan x = -\sqrt{3} \implies x = -\frac{\pi}{3} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi n$; $\pm\frac{\pi}{3} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

в)

Уравнение $\sin^3 x - 7 \sin x \cos^2 x - 6 \cos^3 x = 0$ является однородным. Так как $\cos x \neq 0$, разделим уравнение на $\cos^3 x$:

$\tan^3 x - 7\tan x - 6 = 0$

Пусть $t = \tan x$. Получаем кубическое уравнение: $t^3 - 7t - 6 = 0$.

Найдем его корни. Целые корни могут быть среди делителей свободного члена (-6): $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.
Проверкой убеждаемся, что корнями являются $t_1 = -1$, $t_2 = -2$, $t_3 = 3$.
Например, для $t = -1$: $(-1)^3 - 7(-1) - 6 = -1 + 7 - 6 = 0$.

Обратная замена:
1) $\tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
2) $\tan x = -2 \implies x = -\arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
3) $\tan x = 3 \implies x = \arctan(3) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi n$; $-\arctan(2) + \pi k$; $\arctan(3) + \pi m$, где $n, k, m \in \mathbb{Z}$.

г)

Уравнение $\sin^3 x - 7 \sin x \cos^2 x + 6 \cos^3 x = 0$ является однородным. Делим на $\cos^3 x \neq 0$:

$\tan^3 x - 7\tan x + 6 = 0$

Пусть $t = \tan x$: $t^3 - 7t + 6 = 0$.

Целые корни ищем среди делителей числа 6: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.
Проверкой находим корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 2$, $t_3 = -3$.
Например, для $t=1$: $1^3 - 7(1) + 6 = 1 - 7 + 6 = 0$.

Обратная замена:
1) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
2) $\tan x = 2 \implies x = \arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
3) $\tan x = -3 \implies x = -\arctan(3) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi n$; $\arctan(2) + \pi k$; $-\arctan(3) + \pi m$, где $n, k, m \in \mathbb{Z}$.

д)

Уравнение $\sin^3 x + \sin^2 x \cos x - 10 \sin x \cos^2 x + 8 \cos^3 x = 0$ является однородным. Делим на $\cos^3 x \neq 0$:

$\tan^3 x + \tan^2 x - 10\tan x + 8 = 0$

Пусть $t = \tan x$: $t^3 + t^2 - 10t + 8 = 0$.

Целые корни ищем среди делителей числа 8: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$.
Проверкой находим корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.
По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 + t_3 = -1$.
$1 + 2 + t_3 = -1 \implies t_3 = -4$.

Обратная замена:
1) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
2) $\tan x = 2 \implies x = \arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
3) $\tan x = -4 \implies x = -\arctan(4) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi n$; $\arctan(2) + \pi k$; $-\arctan(4) + \pi m$, где $n, k, m \in \mathbb{Z}$.

е)

Уравнение $\sin^3 x + 2 \sin^2 x \cos x - 5 \sin x \cos^2 x - 6 \cos^3 x = 0$ является однородным. Делим на $\cos^3 x \neq 0$:

$\tan^3 x + 2\tan^2 x - 5\tan x - 6 = 0$

Пусть $t = \tan x$: $t^3 + 2t^2 - 5t - 6 = 0$.

Целые корни ищем среди делителей числа -6: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.
Проверкой находим корни $t_1 = -1$ и $t_2 = 2$.
По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 + t_3 = -2$.
$-1 + 2 + t_3 = -2 \implies t_3 = -3$.

Обратная замена:
1) $\tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
2) $\tan x = 2 \implies x = \arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
3) $\tan x = -3 \implies x = -\arctan(3) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi n$; $\arctan(2) + \pi k$; $-\arctan(3) + \pi m$, где $n, k, m \in \mathbb{Z}$.