Номер 11.23, страница 307 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.3. Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.23, страница 307.

11.23* а) $cos 4x + 6 \sin^2 x = 1;$

б) $cos 4x + 6 \cos^2 x = 1.$

а) Решим уравнение $ \cos 4x + 6 \sin^2 x = 1 $. Для того чтобы привести все тригонометрические функции к одному аргументу, воспользуемся формулами двойного угла и понижения степени.

Формула косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha $. Также, $ \cos(4x) = \cos(2 \cdot 2x) = 2\cos^2(2x) - 1 $. Из формулы $ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x $ выразим $ \sin^2 x $: $ \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2} $.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$ (2\cos^2(2x) - 1) + 6 \left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right) = 1 $

Упростим полученное выражение:

$ 2\cos^2(2x) - 1 + 3(1 - \cos(2x)) = 1 $

$ 2\cos^2(2x) - 1 + 3 - 3\cos(2x) = 1 $

$ 2\cos^2(2x) - 3\cos(2x) + 2 = 1 $

$ 2\cos^2(2x) - 3\cos(2x) + 1 = 0 $

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \cos(2x) $, при этом $ |t| \le 1 $. Уравнение примет вид квадратного:

$ 2t^2 - 3t + 1 = 0 $

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 $.

Корни:

$ t_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 $

$ t_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

Оба значения удовлетворяют условию $ |t| \le 1 $. Выполним обратную замену.

1) Если $ \cos(2x) = 1 $, то $ 2x = 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Отсюда $ x = \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2) Если $ \cos(2x) = \frac{1}{2} $, то $ 2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k $

$ x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ \pi n, n \in \mathbb{Z}; \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) Решим уравнение $ \cos 4x + 6 \cos^2 x = 1 $. Поступим аналогично предыдущему пункту, приведя все функции к аргументу $ 2x $.

Используем формулы: $ \cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1 $ и $ \cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 $, из которой следует, что $ \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} $.

Подставим эти выражения в уравнение:

$ (2\cos^2(2x) - 1) + 6 \left(\frac{1 + \cos(2x)}{2}\right) = 1 $

Упростим выражение:

$ 2\cos^2(2x) - 1 + 3(1 + \cos(2x)) = 1 $

$ 2\cos^2(2x) - 1 + 3 + 3\cos(2x) = 1 $

$ 2\cos^2(2x) + 3\cos(2x) + 2 = 1 $

$ 2\cos^2(2x) + 3\cos(2x) + 1 = 0 $

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \cos(2x) $, где $ |t| \le 1 $. Получим квадратное уравнение:

$ 2t^2 + 3t + 1 = 0 $

Найдем корни. Дискриминант $ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 $.

Корни:

$ t_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} $

$ t_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1 $

Оба значения удовлетворяют условию $ |t| \le 1 $. Выполним обратную замену.

1) Если $ \cos(2x) = -1 $, то $ 2x = \pi + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Отсюда $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2) Если $ \cos(2x) = -\frac{1}{2} $, то $ 2x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ 2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k $

$ x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.