Номер 11.28, страница 309 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.4. Однородные уравнения. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.28, страница 309.

11.28* Докажите, что уравнение

$a_0 \sin^n x + a_1 \sin^{n-1} x \cos x + a_2 \sin^{n-2} x \cos^2 x + \dots + a_{n-1} \sin x \cos^{n-1} x + a_n \cos^n x = 0,$

где $n \in N$, $a_0 \ne 0$ и ещё хотя бы один из коэффициентов $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$ отличен от нуля, равносильно уравнению

$a_0 \operatorname{tg}^n x + a_1 \operatorname{tg}^{n-1} x + \dots + a_n = 0.$

Для того чтобы доказать, что два уравнения равносильны, необходимо показать, что множества их решений полностью совпадают. То есть, любой корень первого уравнения является корнем второго, и любой корень второго уравнения является корнем первого.

Обозначим исходные уравнения:

Уравнение (1): $a_0 \sin^n x + a_1 \sin^{n-1} x \cos x + a_2 \sin^{n-2} x \cos^2 x + \dots + a_n \cos^n x = 0$

Уравнение (2): $a_0 \operatorname{tg}^n x + a_1 \operatorname{tg}^{n-1} x + \dots + a_n = 0$

Этап 1: Докажем, что любой корень уравнения (1) является корнем уравнения (2).

Пусть $x_0$ является решением уравнения (1). Проверим, может ли для этого решения выполняться условие $\cos x_0 = 0$.

Если предположить, что $\cos x_0 = 0$, то из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x_0 + \cos^2 x_0 = 1$ следует, что $\sin^2 x_0 = 1$, а значит $|\sin x_0| = 1$.

Подставим $\cos x_0 = 0$ в уравнение (1). Все слагаемые, содержащие $\cos x$ в качестве множителя, обратятся в ноль:

$a_0 \sin^n x_0 + a_1 \sin^{n-1} x_0 \cdot 0 + a_2 \sin^{n-2} x_0 \cdot 0^2 + \dots + a_n \cdot 0^n = 0$

Уравнение примет вид:

$a_0 \sin^n x_0 = 0$

По условию задачи, коэффициент $a_0 \neq 0$. Следовательно, должно выполняться равенство $\sin^n x_0 = 0$, что означает $\sin x_0 = 0$.

Таким образом, мы пришли к выводу, что для решения $x_0$ должны одновременно выполняться два условия: $\cos x_0 = 0$ и $\sin x_0 = 0$. Это невозможно, так как противоречит основному тригонометрическому тождеству ($\sin^2 x_0 + \cos^2 x_0 = 0^2 + 0^2 = 0 \neq 1$).

Следовательно, наше предположение неверно, и для любого решения уравнения (1) должно выполняться условие $\cos x \neq 0$.

Поскольку для всех решений уравнения (1) $\cos x \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^n x$ (так как $\cos x \neq 0$ и $n \in \mathbb{N}$, то $\cos^n x \neq 0$). Это преобразование является равносильным для множества решений уравнения (1).

$\frac{a_0 \sin^n x}{\cos^n x} + \frac{a_1 \sin^{n-1} x \cos x}{\cos^n x} + \frac{a_2 \sin^{n-2} x \cos^2 x}{\cos^n x} + \dots + \frac{a_n \cos^n x}{\cos^n x} = \frac{0}{\cos^n x}$

Упростим каждый член, используя тождество $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$a_0 \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^n + a_1 \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^{n-1} + a_2 \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^{n-2} + \dots + a_n = 0$

В результате получаем уравнение (2):

$a_0 \operatorname{tg}^n x + a_1 \operatorname{tg}^{n-1} x + \dots + a_n = 0$

Таким образом, мы показали, что любое решение уравнения (1) является решением уравнения (2).

Этап 2: Докажем, что любой корень уравнения (2) является корнем уравнения (1).

Пусть $x_0$ является решением уравнения (2). По определению, функция тангенса $\operatorname{tg} x$ определена только для тех $x$, для которых $\cos x \neq 0$. Следовательно, для любого решения уравнения (2) выполняется условие $\cos x \neq 0$.

Так как $\cos x \neq 0$, мы можем произвести в уравнении (2) замену $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$a_0 \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^n + a_1 \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^{n-1} + \dots + a_n = 0$

Теперь умножим обе части этого уравнения на $\cos^n x$. Так как $\cos x \neq 0$, это преобразование является равносильным.

$a_0 \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^n \cos^n x + a_1 \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^{n-1} \cos^n x + \dots + a_n \cos^n x = 0 \cdot \cos^n x$

После сокращения степеней $\cos x$ в каждом слагаемом получаем уравнение (1):

$a_0 \sin^n x + a_1 \sin^{n-1} x \cos x + \dots + a_n \cos^n x = 0$

Таким образом, мы показали, что любое решение уравнения (2) является решением уравнения (1).

Вывод

Поскольку мы доказали, что множества решений обоих уравнений совпадают, уравнения являются равносильными. Ключевым условием для доказательства является $a_0 \neq 0$. Условие о том, что "ещё хотя бы один из коэффициентов $a_1, a_2, ..., a_n$ отличен от нуля", не является необходимым для самого доказательства равносильности, так как оно верно и в случае, когда все эти коэффициенты равны нулю.

Ответ: Равносильность уравнений доказана на основании того, что множества их решений совпадают. Ключевым шагом является установление того факта, что $\cos x \neq 0$ для решений обоих уравнений, что позволяет совершать равносильные преобразования: деление на $\cos^n x$ для первого уравнения и умножение на $\cos^n x$ для второго.