Номер 11.31, страница 310 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.4. Однородные уравнения. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.31, страница 310.

11.31* a) $2 \cos 4x - \cos^3 x = 2 - 16 \cos^2 x;$

б) $4 \sin^2 x + \sin 4x + 2 \sin 2x \sin 4x = 2;$

в) $\cos 3x \cos x - 2 \cos 2x + 1 = 0;$

г) $\sin 3x + 2 \sin 3x \cos 2x - \sin x = 0.$

а) $2 \cos 4x - \cos^3 x = 2 - 16 \cos^2 x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$2 \cos 4x - 2 + 16 \cos^2 x - \cos^3 x = 0$

Вынесем общие множители:

$2(\cos 4x - 1) + \cos^2 x(16 - \cos x) = 0$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$ и формулу понижения степени $1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2 \alpha$.

$\cos 4x - 1 = -(1 - \cos 4x) = -2\sin^2 2x$.

Также используем формулу косинуса четверного угла, выраженную через косинус одинарного угла: $\cos 4x = 8\cos^4 x - 8\cos^2 x + 1$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2(8\cos^4 x - 8\cos^2 x + 1) - \cos^3 x = 2 - 16 \cos^2 x$

$16\cos^4 x - 16\cos^2 x + 2 - \cos^3 x = 2 - 16 \cos^2 x$

Сократим одинаковые члены в обеих частях уравнения:

$16\cos^4 x - \cos^3 x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos^3 x$ за скобки:

$\cos^3 x (16 \cos x - 1) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\cos^3 x = 0 \implies \cos x = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $16 \cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{16}$

$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{16}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $x = \pm \arccos\left(\frac{1}{16}\right) + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

б) $4 \sin^2 x + \sin 4x + 2 \sin 2x \sin 4x = 2$

Используем формулу понижения степени $4 \sin^2 x = 2(1 - \cos 2x) = 2 - 2\cos 2x$.

Подставим в уравнение:

$2 - 2\cos 2x + \sin 4x + 2 \sin 2x \sin 4x = 2$

Вычтем 2 из обеих частей:

$-2\cos 2x + \sin 4x + 2 \sin 2x \sin 4x = 0$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x$:

$-2\cos 2x + 2\sin 2x \cos 2x + 2 \sin 2x (2\sin 2x \cos 2x) = 0$

$-2\cos 2x + 2\sin 2x \cos 2x + 4\sin^2 2x \cos 2x = 0$

Вынесем общий множитель $2\cos 2x$ за скобки:

$2\cos 2x (-1 + \sin 2x + 2\sin^2 2x) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\cos 2x = 0$

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $2\sin^2 2x + \sin 2x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \sin 2x$, где $|t| \le 1$. Получим квадратное уравнение:

$2t^2 + t - 1 = 0$

Дискриминант $D = 1^2 - 4(2)(-1) = 9$.

$t_1 = \frac{-1 - 3}{4} = -1$

$t_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$

Возвращаемся к замене:

а) $\sin 2x = -1$

$2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Заметим, что эта серия решений является подмножеством первой серии решений $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$ (при $n = 2k-1$ получаем $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(2k-1)}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi k - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi k$).

б) $\sin 2x = \frac{1}{2}$

$2x = (-1)^m \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi m \implies 2x = (-1)^m \frac{\pi}{6} + \pi m$

$x = (-1)^m \frac{\pi}{12} + \frac{\pi m}{2}$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $x = (-1)^m \frac{\pi}{12} + \frac{\pi m}{2}$, где $n, m \in \mathbb{Z}$.

в) $\cos 3x \cos x - 2 \cos 2x + 1 = 0$

Применим формулу преобразования произведения косинусов в сумму:

$\cos 3x \cos x = \frac{1}{2}(\cos(3x-x) + \cos(3x+x)) = \frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 4x)$.

Подставим в уравнение:

$\frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 4x) - 2\cos 2x + 1 = 0$

Умножим обе части на 2:

$\cos 2x + \cos 4x - 4\cos 2x + 2 = 0$

$\cos 4x - 3\cos 2x + 2 = 0$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1$:

$(2\cos^2 2x - 1) - 3\cos 2x + 2 = 0$

$2\cos^2 2x - 3\cos 2x + 1 = 0$

Сделаем замену $t = \cos 2x$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Это квадратное уравнение, его корни $t_1 = 1$ и $t_2 = \frac{1}{2}$.

Возвращаемся к замене:

1) $\cos 2x = 1$

$2x = 2\pi n \implies x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos 2x = \frac{1}{2}$

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n$, $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

г) $\sin 3x + 2 \sin 3x \cos 2x - \sin x = 0$

Применим формулу преобразования произведения синуса на косинус в сумму:

$2\sin 3x \cos 2x = \sin(3x+2x) + \sin(3x-2x) = \sin 5x + \sin x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\sin 3x + (\sin 5x + \sin x) - \sin x = 0$

$\sin 3x + \sin 5x = 0$

Теперь применим формулу суммы синусов:

$\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$.

$2\sin\left(\frac{3x+5x}{2}\right)\cos\left(\frac{5x-3x}{2}\right) = 0$

$2\sin 4x \cos x = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\sin 4x = 0$

$4x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Проверим, является ли вторая серия решений подмножеством первой. Решения $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ можно записать как $x = \frac{\pi(1+2k)}{2}$.

В первой серии решений $x = \frac{\pi n}{4}$, если взять $n = 2(1+2k) = 2+4k$, то получим $x = \frac{\pi (2+4k)}{4} = \frac{\pi (1+2k)}{2}$. Поскольку для любого целого $k$ число $n=2+4k$ является целым, вторая серия решений полностью содержится в первой.

Следовательно, общим решением является первая серия.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.