Номер 11.37, страница 315 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.5*. Простейшие неравенства для синуса и косинуса. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.37, страница 315.

11.37 a) $ \cos x > \frac{3}{4}; $

б) $ \cos x > -\frac{3}{4}; $

в) $ \cos x > -0,7; $

г) $ \cos x < \frac{3}{4}; $

д) $ \cos x < -\frac{3}{4}; $

е) $ \cos x < 0,7. $

а)

Для решения неравенства $cos x > \frac{3}{4}$ воспользуемся единичной окружностью. Решениями являются углы, для которых абсцисса (косинус) соответствующей точки на окружности больше $\frac{3}{4}$. Эти точки образуют дугу, расположенную правее вертикальной прямой, проходящей через $x = \frac{3}{4}$.
Граничные точки этой дуги находятся как решения уравнения $cos x = \frac{3}{4}$. На основном промежутке $[-\pi, \pi]$ это углы $x_1 = \arccos(\frac{3}{4})$ и $x_2 = -\arccos(\frac{3}{4})$.
Таким образом, искомый интервал на одном обороте: $-\arccos(\frac{3}{4}) < x < \arccos(\frac{3}{4})$.
Учитывая периодичность функции косинуса ($2\pi$), общее решение имеет вид:
$-\arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi k < x < \arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (-\arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi k; \arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

б)

Решим неравенство $cos x > -\frac{3}{4}$. Аналогично пункту а), ищем точки на единичной окружности, абсциссы которых больше $-\frac{3}{4}$.
Граничные точки дуги определяются уравнением $cos x = -\frac{3}{4}$, что дает углы $x_1 = \arccos(-\frac{3}{4})$ и $x_2 = -\arccos(-\frac{3}{4})$.
Решение на одном обороте: $-\arccos(-\frac{3}{4}) < x < \arccos(-\frac{3}{4})$.
Общее решение с учетом периодичности:
$-\arccos(-\frac{3}{4}) + 2\pi k < x < \arccos(-\frac{3}{4}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (-\arccos(-\frac{3}{4}) + 2\pi k; \arccos(-\frac{3}{4}) + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

в)

Решим неравенство $cos x > -0,7$. Решение полностью аналогично предыдущему пункту.
Граничные точки: $x_1 = \arccos(-0,7)$ и $x_2 = -\arccos(-0,7)$.
Общее решение:
$-\arccos(-0,7) + 2\pi k < x < \arccos(-0,7) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (-\arccos(-0,7) + 2\pi k; \arccos(-0,7) + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

г)

Решим неравенство $cos x < \frac{3}{4}$. На единичной окружности искомые точки лежат левее вертикальной прямой $x = \frac{3}{4}$.
Граничные точки дуги: $x_1 = \arccos(\frac{3}{4})$ и $x_2 = -\arccos(\frac{3}{4})$.
На промежутке $[0, 2\pi]$ решением является интервал, начинающийся в точке $\arccos(\frac{3}{4})$ и заканчивающийся в точке $2\pi - \arccos(\frac{3}{4})$ (при движении против часовой стрелки).
Общее решение с учетом периодичности:
$\arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi k < x < 2\pi - \arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (\arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi k; 2\pi - \arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

д)

Решим неравенство $cos x < -\frac{3}{4}$. Искомые точки на единичной окружности лежат левее прямой $x = -\frac{3}{4}$.
Граничные точки: $x_1 = \arccos(-\frac{3}{4})$ и $x_2 = 2\pi - \arccos(-\frac{3}{4})$.
Общее решение:
$\arccos(-\frac{3}{4}) + 2\pi k < x < 2\pi - \arccos(-\frac{3}{4}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (\arccos(-\frac{3}{4}) + 2\pi k; 2\pi - \arccos(-\frac{3}{4}) + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

е)

Решим неравенство $cos x < 0,7$. Решение аналогично пункту г).
Граничные точки: $x_1 = \arccos(0,7)$ и $x_2 = 2\pi - \arccos(0,7)$.
Общее решение:
$\arccos(0,7) + 2\pi k < x < 2\pi - \arccos(0,7) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (\arccos(0,7) + 2\pi k; 2\pi - \arccos(0,7) + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.