Номер 11.44, страница 321 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
11.7*. Неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.44, страница 321.
№11.44 (с. 321)
Условие. №11.44 (с. 321)
скриншот условия

11.44 a) $\sin^2 x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x < 0;$
б) $\sin^2 x + \frac{1}{2} \sin x > 0;$
в) $\cos^2 x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x < 0;$
г) $\cos^2 x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x > 0;$
д) $\text{tg}^2 x - \text{tg } x < 0;$
е) $\text{tg}^2 x + \sqrt{3} \text{tg } x > 0;$
ж) $\text{ctg}^2 x - \text{ctg } x < 0;$
з) $\text{ctg}^2 x + \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ctg } x > 0.$
Решение 1. №11.44 (с. 321)








Решение 2. №11.44 (с. 321)

Решение 3. №11.44 (с. 321)


Решение 4. №11.44 (с. 321)



Решение 5. №11.44 (с. 321)
а) $\sin^2 x - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x < 0$
Введем замену $t = \sin x$, где $t \in [-1, 1]$. Неравенство принимает вид: $t^2 - \frac{\sqrt{2}}{2}t < 0$.
Вынесем $t$ за скобки: $t(t - \frac{\sqrt{2}}{2}) < 0$.
Корни соответствующего уравнения $t(t - \frac{\sqrt{2}}{2}) = 0$ равны $t_1 = 0$ и $t_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Поскольку это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $0 < t < \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Вернемся к исходной переменной: $0 < \sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Это двойное неравенство решается с помощью единичной окружности. Находим углы, для которых синус принимает значения между $0$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это два интервала на одном обороте: от $0$ до $\frac{\pi}{4}$ и от $\frac{3\pi}{4}$ до $\pi$.
С учетом периодичности функции синус, общее решение имеет вид:
Ответ: $x \in (2\pi n, \frac{\pi}{4} + 2\pi n) \cup (\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.
б) $\sin^2 x + \frac{1}{2}\sin x > 0$
Введем замену $t = \sin x$, где $t \in [-1, 1]$. Получаем квадратное неравенство: $t^2 + \frac{1}{2}t > 0$.
Выносим $t$ за скобки: $t(t + \frac{1}{2}) > 0$.
Корни уравнения $t(t + \frac{1}{2}) = 0$ равны $t_1 = 0$ и $t_2 = -\frac{1}{2}$. Парабола направлена ветвями вверх, поэтому решение неравенства находится вне интервала между корнями: $t < -\frac{1}{2}$ или $t > 0$.
Выполняем обратную замену: $\sin x < -\frac{1}{2}$ или $\sin x > 0$.
Решаем каждое неравенство отдельно:
1) $\sin x > 0$ при $x \in (2\pi n, \pi + 2\pi n)$.
2) $\sin x < -\frac{1}{2}$ при $x \in (\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{11\pi}{6} + 2\pi n)$.
Объединяем полученные решения.
Ответ: $x \in (2\pi n, \pi + 2\pi n) \cup (\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{11\pi}{6} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.
в) $\cos^2 x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x < 0$
Пусть $t = \cos x$, где $t \in [-1, 1]$. Неравенство становится: $t^2 - \frac{\sqrt{3}}{2}t < 0$.
Факторизуем: $t(t - \frac{\sqrt{3}}{2}) < 0$.
Корни $t_1 = 0$ и $t_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Решение неравенства: $0 < t < \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Возвращаемся к $x$: $0 < \cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$.
На единичной окружности это соответствует дугам, где абсцисса точки больше $0$, но меньше $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это интервалы $(-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{6})$ и $(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})$.
Добавляя период $2\pi$, получаем общее решение.
Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, -\frac{\pi}{6} + 2\pi n) \cup (\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.
г) $\cos^2 x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x > 0$
Пусть $t = \cos x$, $t \in [-1, 1]$. Неравенство: $t^2 + \frac{\sqrt{2}}{2}t > 0$.
Факторизуем: $t(t + \frac{\sqrt{2}}{2}) > 0$.
Корни $t_1 = 0$ и $t_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Решение: $t < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ или $t > 0$.
Обратная замена: $\cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ или $\cos x > 0$.
1) $\cos x > 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$.
2) $\cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ при $x \in (\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{5\pi}{4} + 2\pi n)$.
Объединяем эти решения.
Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n) \cup (\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{5\pi}{4} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.
д) $\operatorname{tg}^2 x - \operatorname{tg} x < 0$
Пусть $t = \operatorname{tg} x$. Неравенство: $t^2 - t < 0$.
Факторизуем: $t(t - 1) < 0$.
Корни $t_1 = 0$ и $t_2 = 1$. Решение: $0 < t < 1$.
Обратная замена: $0 < \operatorname{tg} x < 1$.
Функция тангенса возрастает на своем основном периоде $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. $\operatorname{tg} x = 0$ при $x=0$, $\operatorname{tg} x = 1$ при $x=\frac{\pi}{4}$.
Следовательно, решение на одном периоде: $0 < x < \frac{\pi}{4}$.
Добавляя период $\pi n$, получаем общее решение.
Ответ: $x \in (\pi n, \frac{\pi}{4} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.
е) $\operatorname{tg}^2 x + \sqrt{3}\operatorname{tg} x > 0$
Пусть $t = \operatorname{tg} x$. Неравенство: $t^2 + \sqrt{3}t > 0$.
Факторизуем: $t(t + \sqrt{3}) > 0$.
Корни $t_1 = 0$ и $t_2 = -\sqrt{3}$. Решение: $t < -\sqrt{3}$ или $t > 0$.
Обратная замена: $\operatorname{tg} x < -\sqrt{3}$ или $\operatorname{tg} x > 0$.
На основном периоде $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$:
1) $\operatorname{tg} x > 0$ при $x \in (0, \frac{\pi}{2})$.
2) $\operatorname{tg} x < -\sqrt{3}$ при $x \in (-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{3})$.
С учетом периодичности $\pi n$ получаем общее решение.
Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi n, -\frac{\pi}{3} + \pi n) \cup (\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.
ж) $\operatorname{ctg}^2 x - \operatorname{ctg} x < 0$
Пусть $t = \operatorname{ctg} x$. Неравенство: $t^2 - t < 0$.
Факторизуем: $t(t - 1) < 0$.
Корни $t_1 = 0$ и $t_2 = 1$. Решение: $0 < t < 1$.
Обратная замена: $0 < \operatorname{ctg} x < 1$.
Функция котангенса убывает на своем основном периоде $(0, \pi)$. $\operatorname{ctg} x = 1$ при $x=\frac{\pi}{4}$, $\operatorname{ctg} x = 0$ при $x=\frac{\pi}{2}$.
Из-за убывания функции, $0 < \operatorname{ctg} x < 1$ выполняется при $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$.
Добавляя период $\pi n$, получаем общее решение.
Ответ: $x \in (\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.
з) $\operatorname{ctg}^2 x + \frac{\sqrt{3}}{3}\operatorname{ctg} x > 0$
Пусть $t = \operatorname{ctg} x$. Неравенство: $t^2 + \frac{\sqrt{3}}{3}t > 0$.
Факторизуем: $t(t + \frac{\sqrt{3}}{3}) > 0$.
Корни $t_1 = 0$ и $t_2 = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Решение: $t < -\frac{\sqrt{3}}{3}$ или $t > 0$.
Обратная замена: $\operatorname{ctg} x < -\frac{\sqrt{3}}{3}$ или $\operatorname{ctg} x > 0$.
На основном периоде $(0, \pi)$:
1) $\operatorname{ctg} x > 0$ при $x \in (0, \frac{\pi}{2})$.
2) $\operatorname{ctg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ при $x = \frac{2\pi}{3}$. Так как котангенс убывает, $\operatorname{ctg} x < -\frac{\sqrt{3}}{3}$ при $x \in (\frac{2\pi}{3}, \pi)$.
Объединяя и добавляя период $\pi n$, получаем общее решение.
Ответ: $x \in (\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n) \cup (\frac{2\pi}{3} + \pi n, \pi + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 11.44 расположенного на странице 321 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.44 (с. 321), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.