Номер 11.38, страница 318 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.6*. Простейшие неравенства для тангенса и котангенса. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.38, страница 318.

Решите неравенство (11.38–11.42):

11.38

а) $tg x > 0$;

б) $tg x < 0$;

в) $ctg x > 0$;

г) $ctg x < 0$.

а) Чтобы решить неравенство $\tg x > 0$, воспользуемся определением тангенса: $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

Дробь положительна, когда ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Рассмотрим два случая:

1. $\sin x > 0$ и $\cos x > 0$. Это соответствует I координатной четверти тригонометрического круга, то есть углам $x$ в интервале $(0; \frac{\pi}{2})$.

2. $\sin x < 0$ и $\cos x < 0$. Это соответствует III координатной четверти, то есть углам $x$ в интервале $(\pi; \frac{3\pi}{2})$.

Функция тангенса является периодической с периодом $\pi$. Объединяя полученные интервалы с учетом периода, получаем общее решение. Мы можем взять первый интервал $(0; \frac{\pi}{2})$ и добавить к его границам $\pi n$, где $n$ — любое целое число.

Таким образом, решение неравенства: $\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Чтобы решить неравенство $\tg x < 0$, снова обратимся к определению $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

Дробь отрицательна, когда ее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Рассмотрим два случая:

1. $\sin x > 0$ и $\cos x < 0$. Это соответствует II координатной четверти, то есть углам $x$ в интервале $(\frac{\pi}{2}; \pi)$.

2. $\sin x < 0$ и $\cos x > 0$. Это соответствует IV координатной четверти, то есть углам $x$ в интервале $(\frac{3\pi}{2}; 2\pi)$.

Учитывая периодичность тангенса (период равен $\pi$), мы можем обобщить эти решения. Возьмем интервал $(\frac{\pi}{2}; \pi)$ и добавим к его границам $\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, решение неравенства: $\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим неравенство $\ctg x > 0$. Определение котангенса: $\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$.

Неравенство $\ctg x > 0$ выполняется, когда $\cos x$ и $\sin x$ имеют одинаковые знаки. Это те же условия, что и для неравенства $\tg x > 0$.

1. $\cos x > 0$ и $\sin x > 0$ (I четверть): $x \in (0; \frac{\pi}{2})$.

2. $\cos x < 0$ и $\sin x < 0$ (III четверть): $x \in (\pi; \frac{3\pi}{2})$.

Функция котангенса имеет период $\pi$. Область определения котангенса: $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Объединяя решения с учетом периодичности, получаем:

$\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим неравенство $\ctg x < 0$. Согласно определению $\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$, дробь будет отрицательной, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки.

Это те же условия, что и для неравенства $\tg x < 0$.

1. $\cos x < 0$ и $\sin x > 0$ (II четверть): $x \in (\frac{\pi}{2}; \pi)$.

2. $\cos x > 0$ и $\sin x < 0$ (IV четверть): $x \in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi)$.

Период функции котангенса равен $\pi$. Область определения котангенса: $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Обобщая полученные интервалы с учетом периода, получаем общее решение:

$\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.