Номер 11.40, страница 318 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.6*. Простейшие неравенства для тангенса и котангенса. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.40, страница 318.

11.40 a) $\tg x > 2$;

б) $\tg x > -3$;

в) $\tg x > -0.5$;

г) $\tg x < -2$;

д) $\tg x < -3$;

е) $\tg x > 0.5$.

а)

Для решения неравенства $tg x > 2$ воспользуемся свойствами функции тангенс. Функция $y = tg x$ является периодической с периодом $\pi$ и строго возрастающей на каждом из интервалов своего определения, имеющих вид $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Общее решение неравенства вида $tg x > a$ находится путем определения интервала на основной области $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, где выполняется условие, и последующего добавления периода. На этом интервале значения $x$, для которых $tg x > a$, лежат между $arctg(a)$ и асимптотой $\frac{\pi}{2}$.

Таким образом, общее решение неравенства $tg x > a$ имеет вид: $arctg(a) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = 2$. Подставив это значение в общую формулу, получаем решение:

$arctg(2) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $arctg(2) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Решим неравенство $tg x > -3$.

Используем общую формулу для решения неравенств вида $tg x > a$: $arctg(a) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Для данного случая $a = -3$. Подставляем это значение:

$arctg(-3) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Так как арктангенс является нечетной функцией, $arctg(-3) = -arctg(3)$. Поэтому решение можно записать в виде:

$-arctg(3) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-arctg(3) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в)

Решим неравенство $tg x > -0,5$.

Применяем общую формулу для неравенств $tg x > a$: $arctg(a) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -0,5$. Подставляя, получаем:

$arctg(-0,5) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Учитывая нечетность арктангенса, имеем $arctg(-0,5) = -arctg(0,5)$:

$-arctg(0,5) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-arctg(0,5) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г)

Решим неравенство $tg x < -2$.

Общее решение неравенства вида $tg x < a$ находится аналогично предыдущим случаям. На основном интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ значения $x$, для которых $tg x < a$, лежат между левой асимптотой $-\frac{\pi}{2}$ и значением $arctg(a)$.

Таким образом, общее решение неравенства $tg x < a$ имеет вид: $-\frac{\pi}{2} + \pi k < x < arctg(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = -2$. Подставляя это значение в общую формулу, получаем:

$-\frac{\pi}{2} + \pi k < x < arctg(-2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Так как арктангенс — нечетная функция, $arctg(-2) = -arctg(2)$. Решение можно переписать:

$-\frac{\pi}{2} + \pi k < x < -arctg(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi k < x < -arctg(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

д)

Решим неравенство $tg x < -3$.

Используем общую формулу для решения неравенств вида $tg x < a$: $-\frac{\pi}{2} + \pi k < x < arctg(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = -3$. Подставляем это значение:

$-\frac{\pi}{2} + \pi k < x < arctg(-3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Используя свойство нечетности арктангенса ($arctg(-x) = -arctg(x)$), получаем:

$-\frac{\pi}{2} + \pi k < x < -arctg(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi k < x < -arctg(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

е)

Решим неравенство $tg x > 0,5$.

Применяем общую формулу для неравенств $tg x > a$: $arctg(a) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = 0,5$. Подставляя, получаем:

$arctg(0,5) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $arctg(0,5) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.