Номер 11.36, страница 315 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.5*. Простейшие неравенства для синуса и косинуса. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.36, страница 315.

11.36 а) $\cos x > \frac{1}{2}$;

б) $\cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $\cos x > \frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $\cos x > -\frac{1}{2}$;

д) $\cos x > -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

е) $\cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

ж) $\cos x < \frac{1}{2}$;

з) $\cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}$;

и) $\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$;

к) $\cos x < -\frac{1}{2}$;

л) $\cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

м) $\cos x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

а) $cos x > \frac{1}{2}$

Чтобы решить данное тригонометрическое неравенство, воспользуемся единичной окружностью. Косинус угла соответствует абсциссе (координате по оси x) точки на этой окружности. Сначала найдем углы, для которых $cos x = \frac{1}{2}$. Это углы $x = \arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$ и $x = -\arccos(\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{3}$. Нам нужны значения $x$, при которых абсцисса точки на окружности больше, чем $\frac{1}{2}$. Это соответствует дуге, расположенной правее вертикальной прямой $x = \frac{1}{2}$. Эта дуга заключена между точками, соответствующими углам $-\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{3}$. Учитывая периодичность функции косинуса (период $2\pi$), общее решение записывается как совокупность интервалов.

Ответ: $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) $cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решаем неравенство с помощью единичной окружности. Находим углы, для которых $cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это углы $x = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$ и $x = -\frac{\pi}{4}$. Неравенству $cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствуют точки на единичной окружности, абсцисса которых больше $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти точки образуют дугу, заключенную между углами $-\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{4}$. С учетом периода функции косинус, равного $2\pi$, получаем общее решение.

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

в) $cos x > \frac{\sqrt{3}}{2}$

На единичной окружности найдем точки, для которых $cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это углы $x = \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$ и $x = -\frac{\pi}{6}$. Нам нужны значения $x$, для которых абсцисса на единичной окружности строго больше $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это дуга, расположенная между углами $-\frac{\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{6}$. Добавляем к границам интервала период $2\pi k$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

г) $cos x > -\frac{1}{2}$

Находим углы, для которых $cos x = -\frac{1}{2}$. Это углы $x = \arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$ и $x = -\frac{2\pi}{3}$. Решению неравенства $cos x > -\frac{1}{2}$ соответствуют точки на единичной окружности, абсцисса которых больше $-\frac{1}{2}$. Это большая дуга, заключенная между углами $-\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$. Общее решение получается добавлением периода $2\pi k$.

Ответ: $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

д) $cos x > -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Находим углы, для которых $cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это углы $x = \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$ и $x = -\frac{3\pi}{4}$. Неравенству $cos x > -\frac{\sqrt{2}}{2}$ удовлетворяют точки на дуге единичной окружности, расположенной правее прямой $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эта дуга соответствует углам от $-\frac{3\pi}{4}$ до $\frac{3\pi}{4}$. Записываем общее решение с учетом периода.

Ответ: $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

е) $cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Находим углы, для которых $cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это углы $x = \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6}$ и $x = -\frac{5\pi}{6}$. Решением неравенства являются углы, для которых абсцисса на единичной окружности больше $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это дуга между углами $-\frac{5\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$. Записываем общее решение.

Ответ: $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

ж) $cos x < \frac{1}{2}$

Это неравенство является противоположным неравенству из пункта а). Граничные точки те же: $x = \frac{\pi}{3}$ и $x = -\frac{\pi}{3}$ (или $x = \frac{5\pi}{3}$). Нам нужны значения $x$, при которых абсцисса точки на окружности меньше, чем $\frac{1}{2}$. Это соответствует дуге, расположенной левее прямой $x = \frac{1}{2}$. Двигаясь по окружности против часовой стрелки, эта дуга начинается в точке $\frac{\pi}{3}$ и заканчивается в точке $\frac{5\pi}{3}$. Добавляем период $2\pi k$.

Ответ: $\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

з) $cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Граничные углы, где $cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, равны $x = \frac{\pi}{4}$ и $x = -\frac{\pi}{4}$ (или $x = \frac{7\pi}{4}$). Неравенству $cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствуют точки на единичной окружности, абсцисса которых меньше $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это дуга от $\frac{\pi}{4}$ до $\frac{7\pi}{4}$ при обходе против часовой стрелки. Записываем общее решение.

Ответ: $\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

и) $cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Граничные углы, где $cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, равны $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = -\frac{\pi}{6}$ (или $x = \frac{11\pi}{6}$). Нам нужны точки, где абсцисса меньше $\frac{\sqrt{3}}{2}$. На единичной окружности это соответствует дуге от $\frac{\pi}{6}$ до $\frac{11\pi}{6}$. Записываем общее решение с учетом периода.

Ответ: $\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

к) $cos x < -\frac{1}{2}$

Граничные углы, где $cos x = -\frac{1}{2}$, равны $x = \frac{2\pi}{3}$ и $x = \frac{4\pi}{3}$. Неравенству $cos x < -\frac{1}{2}$ соответствуют точки на единичной окружности, абсцисса которых меньше $-\frac{1}{2}$. Эта дуга заключена между углами $\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{4\pi}{3}$. Общее решение получается добавлением периода $2\pi k$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

л) $cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Граничные углы, где $cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, равны $x = \frac{3\pi}{4}$ и $x = \frac{5\pi}{4}$. Решению неравенства соответствуют точки на дуге единичной окружности, расположенной левее прямой $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эта дуга соответствует углам от $\frac{3\pi}{4}$ до $\frac{5\pi}{4}$. Записываем общее решение с учетом периода.

Ответ: $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

м) $cos x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Граничные углы, где $cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, равны $x = \frac{5\pi}{6}$ и $x = \frac{7\pi}{6}$. Решением неравенства являются углы, для которых абсцисса на единичной окружности меньше $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это дуга между углами $\frac{5\pi}{6}$ и $\frac{7\pi}{6}$. Записываем общее решение.

Ответ: $\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.